Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

3.4. Stetigkeit einer Funktion 45
3.4 Stetigkeit einer Funktion
Definition 3.4.1. Eine Funktion f heisst stetig in einem Punkt x = a ihres Definitionsbereichs
X f , wenn
a. ihr Grenzwert an der Stelle x = a existiert und
b. lim
x→a
f(x) = f(a).
Ist eine Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig, so heisst sie stetig.
Beispiel 3.4.1. Die folgenden häufig vorkommenden Funktionen sind alle stetig.
• Polynomfunktionen: f(x) = a n x n +···+a 1 x+a 0 , wobei a n ,...,a 1 ,a 0 ∈ R.
• Exponentialfunktionen: f(x) = a x , wobei a ∈ R.
• Trigonometrische Funktionen: f(x) = sin(x), f(x) = cos(x) usw.
• Gebrochenrationale Funktionen: f(x) = g(x)
h(x)
, wobei g und h Polynomfunktionen sind.
• Aus obigen Funktionen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division zusammengesetzte
Funktionen sind auf ihrem jeweiligen Definitionsgebiet stetig.
Insbesondere sind die Funktionen
und
f : R−{0} −→ R−{0}
x ↦−→ 1 x
g : R− { π
2 +nπ∣ ∣ n ∈ N
}
−→ R
x ↦−→ tan(x)
beide stetig (vgl. Abbildungen 3.4.i und 3.4.ii).
y
y
x
− 3π 2
− π 2
π
2
3π
2
x
Abbildung 3.4.i: Der Graf y = 1 x
Abbildung 3.4.ii: Der Graf y = tan(x)