Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

48 Kapitel 3. Grenzwerte
y
y
•
y
•
•
a
x
a
x
a
x
Abbildung 3.5.i: Lücke
(hebbar)
Abbildung 3.5.ii: Sprung
(nicht-hebbar)
Abbildung 3.5.iii: Pol
(nicht-hebbar)
hat eine Singularität an der Stelle x = −2. Wir möchten untersuchen, ob diese Singularität
hebbar ist, das heisst, ob die Funktion f stetig fortgesetzt werden kann. Dafür müssen wir
zuerst den rechts- und linksseitigen Grenzwert an der Stelle x = −2 berechnen:
x 2 −4
lim
x↓−2 x+2 = lim (−2+h) 2 −4
h↓0 (−2+h)+2 = lim 4−4h+h 2 −4
= lim(−4+h) = −4.
h↓0 h h↓0
Analog erhalten wir
x 2 −4
lim
x↑−2 x+2 = −4.
Anders gesagt hat die Funktion f den allgemeinen Grenzwert von −4 an der Stelle x = −2.
Dies erlaubt uns, eine stetige Fortsetzung ¯f von f zu definieren:
{
x 2 −4
¯f(x) =
x+2
wenn x ≠ −2
−4 wenn x = −2.
Somit haben wir die Singularität von f an der Stelle x = −2 gehoben (vgl. Abbildungen3.5.iv
und 3.5.v).
y
y
−2
x
−2
x
•
−4
−4
Abbildung 3.5.iv: Der Graf y = f(x)
Abbildung 3.5.v: Der Graf y = ¯f(x)
Aufgrund des Beispiels 3.5.1 lässt sich die bisherige Grenzwertberechnung besser verstehen.
Die Funktion
f(x) = x2 −4
x+2