Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

364 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
Beispiel 21.7.1. Gesucht sind sämtliche Kurven, die die Kurven der Schar
y 2 = x+C,
mit Scharparameter C ∈ R, rechtwinklig schneiden. Es sei P(x,y) ein beliebiger Punkt der
Ebene. In diesem Punkt P besitzt die Parabel die Steigung
y ′ = 1
2y .
Die Steigung der Orthogonaltrajektorie in P muss das negative Reziproke davon sein. Also
erhalten wir die Differenzialgleichung der Orthogonaltrajektorienschar
y ′ = −2y,
welche durch eine Separation der Variablen gelöst werden kann. Wir trennen die Variablen
und erhalten
dy
y = −2dx.
Integration ergibt die Lösung ln(|y|) = −2x + D 1 , wobei D 1 ∈ R eine Konstante ist. Somit
lautet die Gleichung der Orthogonaltrajektorienschar
wobei D ∈ R der Scharparameter ist.
y
y(x) = De −2x ,
x
Abbildung 21.7.i: Orthogonaltrajektorienschar der Parabeln mit der Gleichung y 2 = x+C.
Dies ist ein Spezialfall, da der Scharparameter C der gegebenen Kurvenschar von selbst eliminiert
wird. Sonst müssen wir die Differenzialgleichung der Kurvenschar der Orthogonaltrajektorien
ermitteln (vgl. Kapitel 21.5) und diese lösen.