Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.7. Orthogonaltrajektorien 363
b. Wie gross ist y zur Zeit t = T?
c. Zu welcher Zeit t, bezogen auf T, hat y 95% von lim
t→∞
y erreicht?
Aufgabe 21.6.21. Gesucht ist die Gleichung der Kurven, für deren Tangente gilt: Der
Berührungspunkt teilt den durch den Schnittpunkt mit der y-Achse und der x-Achse begrenzten
Tangentenabschnitt im Verhältnis eins zu zwei.
Lösungen
Im Folgenden bezeichnet C ∈ R eine Konstante.
Lösung 21.6.11. Implizite Lösung x 2 −y 2 = C
Lösung 21.6.12. Implizite Lösung y 2 = 2e x +C
Lösung 21.6.13. y(x) = C(x−a)+b
Lösung 21.6.14. y(x) =
Lösung 21.6.15. y p (x) = 1
( ) 2
1+Ce x2 4
Lösung 21.6.16. Implizite Lösung y 2 = 2(xcos(x)−sin(x))+121+2π
Lösung 21.6.17. Implizite Lösung y 3 = 3+3x−x 3
Lösung 21.6.18. y p (x) =
Lösung 21.6.19. v p (60s) ≈ 86ms −1
√ ( √2 ( ) )
2
2 tan 2 ln 1+x
1−x
+C mit C ≈ 0.295
Lösung 21.6.20. Die partikuläre Lösung der Differenzialgleichung ist y p (t) = K(1−e − t T).
a. lim
t→∞
y = K
b. y(T) ≈ 0.632K
c. t = T ln(20)
Lösung 21.6.21. Implizite Gleichung xy 2 = C
21.7 Orthogonaltrajektorien
ImFolgendenseieineKurvenschargegeben,undwirwollendiedazuorthogonaleKurvenschar,
die so genannte Orthogonaltrajektorienschar bestimmen.
Definition 21.7.1. Eine Kurvenschar mit der Eigenschaft, dass in jedem Punkt der Ebene
eine Kurve dieser Schar auf der entsprechenden Kurve einer vorgegebenen Kurvenschar
senkrecht steht, heisst Orthogonaltrajektorienschar.