Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

2.10. Differenzenquotient 29
Der Ausdruck ∆y
∆y
∆x
= 4x+2∆x+3 bleibt sogar sinnvoll für ∆x = 0: Wir erhalten
∆x = 7 und
σ = 81.87 ◦ , welche die Steigung der Tangente im Punkte (1,4) darstellen. Diese Steigung
ist ein Mass für die lokale Steilheit der Kurve y = f(x).
Aufgaben
Aufgabe 2.10.2. Bilden Sie den Differenzenquotienten der Funktion f(t) = 2t 2 −4t+1.
Aufgabe 2.10.3. Berechnen SiedenDifferenzenquotienten von f(x) = 0.2x 2 +0.8x−1 ander
Stelle x = 1 für ∆x = −8, −6, −3 und −1. Zeichnen Sie den Grafen der Funktion zusammen
mit den entsprechenden Sekanten.
Lösungen
Lösung 2.10.2. 4t+2∆t−4
Lösung 2.10.3. Die Differenzquotienten sind −0.4, 0, 0.6 und 1. Die Sekanten werden in
Abbildung 2.10.iii dargestellt.
y
•
3.2
−7
•
−5
−2
0
•
1
x
•
−1
•
−1.8
Abbildung 2.10.iii: y = 0.2x 2 +0.8x−1
Im folgenden Beispiel sehen wir, dass die Tangentensteigung sich nicht immer so einfach
bestimmen lässt.
Beispiel 2.10.3. Es sei die Funktion f(x) = √ x gegeben. Der Differenzenquotient lautet
∆y
∆x = f(x+∆x)−f(x)
√ √ x+∆x− x
= .
∆x ∆x
Lassen wir hier ∆x gegen null gehen, so erhalten wir den unbestimmten Ausdruck 0 0 . Erst
eine Umformung mit anschliessendem Kürzen durch ∆x erlaubt die Berechnung der Tangen-