Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

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138 Kapitel 6. Integralrechnung bezeichnen. Nach Division durch ∆x wird daraus m ≤ ∆F ∆x ≤ M. Lassen wir ∆x gegen 0 streben, dann streben m und M beide gegen den Funktionswert f(x). Somit gilt laut dem Sandwich-Theorem (vgl. Satz 3.3.2) F ′ ∆F (x) = lim ∆x→0 ∆x = f(x). Wir haben gezeigt, dass im Intervall ]a,b[ die Ableitung der Flächenfunktion F nicht anders als die ursprüngliche Funktion f ist. Funktionen wie F, die die Eigenschaft F ′ = f besitzen, werden Stammfunktionen von f genannt. Kennen wir eine Stammfunktion F von f, dann kennen wir alle Stammfunkionen von f: Die anderen unterscheiden sich von F nur durch einen konstanten additiven Faktor. Die allgemeine Form einer Stammfunktion von f wird unbestimmtes Integral genannt und durch das Symbol ∫ f(x)dx bezeichnet. Es gilt (∫ f(x)dx) ′ = (F(x)+C) ′ = f(x), d.h., eine Ableitung hebt eine Integration auf 1 . Beispiel 6.1.1. Eine Stammfunktion von f(x) = x ist die Funktion F(x) = x2 2 . Damit gilt ∫ xdx = x2 2 +C, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist 2 (vgl. Abbildung 6.1.ii). Im Beispiel 6.1.1 konnten wir aus unserer Erfahrung mit Ableitung eine Stammfunktion von f einfach erraten. Andere Integrale, die sofort aus den Ableitungsregeln folgen, werden in der folgenden Liste aufgeführt. Sie heissen Grundintegrale (vgl. auch die Tafel B.1) ∫ ∫ 0dx = C e x dx = e x +C ∫ ∫ 1dx = x+C cos(x)dx = sin(x)+C ∫ ∫ x n dx = xn+1 n+1 +C für alle n ∈ Z, n ≠ −1 sin(x)dx = −cos(x)+C ∫ ∫ 1 1 dx = ln|x|+C x cos 2 dx = tan(x)+C (x) ∫ ∫ a x dx = ax +C für alle a ∈ ]0,∞[, a ≠ 1 ln(a) 1 sin 2 dx = −cot(x)+C (x) Später werden wir Methoden lernen, die es erlauben, gewisse Integrale auf den Grundintegrale zurückzuführen. Dies ist aber nicht immer möglich: Es gibt Funktionen, wie zum Beispiel f(x) = e −x2 und f(x) = sin(x 2 ), die keine elementare Stammfunktionen besitzen. 1 Im deutschen Sprachraum heisst Integrieren oft auch “Aufleiten”. 2 Mit der Zeit wird es langwierig, den Satz wobei C eine beliebige reelle Zahl ist“ immer wiederholen zu ” müssen. Stattdessen schreiben wir einfach ∫ xdx = x2 + C und betrachten die Bedeutung der so genannten 2 Integrationskonstante C als selbstverständlich.
6.1. Das unbestimmte Integral 139 y x Aufgaben Abbildung 6.1.ii: Einige Stammfunktionen von f(x) = x Aufgabe 6.1.1. Berechnen Sie folgende Integrale. ∫ a. (x 5 −3x 2 +7)dx b. c. d. e. f. g. ∫ 1 x 3 dx ∫ x 4 −5x 3 +2x dx ∫ ∫ ∫ 3√ xdx x 3 7 √ x 4 dx 1 5√ x 2 dx ∫ t 2 −4 3√ t+8t −2 2 √ dt t h. i. j. k. l. m. n. ∫ (s+2 √ s) 3 ds ∫ √ u 3√ u 2 du ∫ √ v 3√ u 2 du ∫ ∫ (r 2 +2 r )dr (sin(x)+e −x +2e x −1)dx ∫ ( m− 1 ) dm m ∫ acos 2 (x)du
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Analysis I - IV (an) Prof. Dr. Marc
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Liebe Studierende Sie lesen das Vor
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Inhaltsverzeichnis Liebe Studierend
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v 12 Unendliche Reihen 231 12.1 Gru
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vii A.4.2 Epizykloide - Wankelmotor
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Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenl
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1.4. Zahlenmengen und Punktmengen 3
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1.5. Ebene und räumliche Punktmeng
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Kapitel 2 Funktionen 2.1 Beispiele
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2.2. Der Funktionsbegriff 13 Eine F
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2.4. Potenzfunktionen 15 2.4 Potenz
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2.4. Potenzfunktionen 17 Lösung 2.
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2.4. Potenzfunktionen 19 y y y = 1
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2.5. Polynomfunktionen zweiten Grad
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2.6. Exponentialfunktionen 23 y y 1
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2.8. Monotonie 25 y y ax 3 −ax 3
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• • 2.10. Differenzenquotient 2
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2.10. Differenzenquotient 29 Der Au
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2.10. Differenzenquotient 31 Die Au
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Kapitel 3 Grenzwerte 3.1 Grenzwerte
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3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 35
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3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 37
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3.3. Grenzwerte von Funktionen 39 3
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3.3. Grenzwerte von Funktionen 41 s
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3.3. Grenzwerte von Funktionen 43 g
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3.4. Stetigkeit einer Funktion 45 3
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3.5. Singularitäten einer Funktion
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3.5. Singularitäten einer Funktion
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3.6. Verhalten von Funktionen im Un
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Kapitel 4 Differenzialrechnung 4.1
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4.1. Tangentenproblem, Ableitung 55
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4.2. Fakultäten, Binomialkoeffizie
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4.3. Ableitung der Potenzfunktion 6
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4.4. Grundregeln der Differenzialre
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4.5. Ableitung eines Produkts 67 L
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4.6. Ableitung eines Quotienten 69
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4.6. Ableitung eines Quotienten 71
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4.7. Ableitung der trigonometrische
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4.7. Ableitung der trigonometrische
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4.8. Logarithmen 77 Diefolgendensog
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4.8. Logarithmen 79 Aufgabe 4.8.5.
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4.10. Differenzial einer Funktion 8
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4.11. Ableitung von verknüpften Fu
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4.11. Ableitung von verknüpften Fu
Seite 97 und 98: 4.11. Ableitung von verknüpften Fu
Seite 99 und 100: 4.12. Ableitung impliziter Funktion
Seite 101 und 102: 4.12. Ableitung impliziter Funktion
Seite 103 und 104: 4.13. Differenzieren nach Logarithm
Seite 105 und 106: 4.13. Differenzieren nach Logarithm
Seite 107 und 108: 4.14. Höhere Ableitungen 97 In dif
Seite 109 und 110: 4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
Seite 111 und 112: 4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
Seite 113 und 114: Kapitel 5 Anwendungen der Differenz
Seite 115 und 116: 5.1. Physik 105 Aufgabe 5.1.5. Ein
Seite 117 und 118: 5.2. Gleichungen numerisch lösen 1
Seite 123 und 124: 5.3. Uneigentliche Grenzwerte - Reg
Seite 129 und 130: 5.4. Untersuchung von Funktionen -
Seite 131 und 132: 5.4. Untersuchung von Funktionen -
Seite 133 und 134: 5.5. Beispiele einer Kurvendiskussi
Seite 141 und 142: 5.6. Krümmung, Krümmungskreis, Ev
Seite 147: Kapitel 6 Integralrechnung 6.1 Das
Seite 151 und 152: 6.2. Das bestimmte Integral 141 Wen
Seite 153 und 154: 6.3. Integrationsregeln 143 Beweis.
Seite 155 und 156: 6.5. Allgemeine Flächenberechnunge
Seite 161 und 162: Kapitel 7 Das Riemannsche Integral
Seite 163 und 164: 7.1. Das bestimmte Integral als Gre
Seite 169 und 170: Kapitel 8 Umkehrfunktionen 8.1 Defi
Seite 171 und 172: 8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 173 und 174: 8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 175 und 176: 8.2. Arkusfunktionen (Zyklometrisch
Seite 183 und 184: Kapitel 9 Hyperbelfunktionen und ih
Seite 185 und 186: 9.1. Hyperbelfunktionen 175 y 1 y =
Seite 187 und 188: 9.1. Hyperbelfunktionen 177 4. ∫
Seite 189 und 190: 9.1. Hyperbelfunktionen 179 Dabei w
Seite 191 und 192: 9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
Seite 193 und 194: 9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
Seite 195 und 196: Kapitel 10 Volumen, Oberflächen- u
Seite 197 und 198: 10.1. Volumen von Rotationskörpern
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10.1. Volumen von Rotationskörpern
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10.2. Bogenlänge einer Kurve 191 L
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10.3. Mantelfläche von Rotationsk
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Kapitel 11 Integrationsmethoden Die
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11.1. Integration durch Substitutio
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11.2. Partielle Integration 209 b.
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11.2. Partielle Integration 211 Nun
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11.2. Partielle Integration 213 Lö
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11.2. Partielle Integration 215 Auf
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11.3. Integration rationaler Funkti
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Seite 237 und 238:
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Kapitel 12 Unendliche Reihen Unendl
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12.1. Grundbegriffe und Definitione
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12.3. Konvergenzkriterien 235 b. Di
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12.3. Konvergenzkriterien 237 Alter
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12.3. Konvergenzkriterien 239 v 1
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12.3. Konvergenzkriterien 241 Beisp
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12.3. Konvergenzkriterien 243 Mit d
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12.4. Konvergenzverhalten der hyper
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12.5. Potenzreihen 247 Zu den folge
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12.5. Potenzreihen 249 1. Mit dem Q
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12.5. Potenzreihen 251 • Amlinken
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12.7. Taylorreihe einer Funktion 25
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12.8. Geometrische Bedeutung der Ta
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12.9. Allgemeine Form der Taylorrei
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12.10. Binomische Reihe 259 12.10 B
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12.11. Methoden zur Reihenentwicklu
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12.12. Erweiterte Ansatzmethode zur
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Seite 277 und 278:
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Kapitel 13 Funktionen mehrerer unab
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13.2. Geometrische Darstellung 271
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13.3. Partielle Ableitungen 273 z z
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13.4. Der Satz von Schwarz 275 13.4
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13.4. Der Satz von Schwarz 277 Abbi
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13.5. Das vollständige Differenzia
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Seite 293 und 294:
13.7. Museum of Mathematical Art 28
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13.7. Museum of Mathematical Art 28
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Kapitel 14 Ableitung impliziter Fun
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Seite 301 und 302:
Kapitel 15 Gradient und Tangentiale
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15.2. Berechnung der Tangentialeben
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Kapitel 16 Extremstellen bei mehrer
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16.1. Notwendige und hinreichende B
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16.2. Methode der kleinsten Quadrat
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16.2. Methode der kleinsten Quadrat
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Kapitel 17 Approximation mit minima
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17.2. Approximation von diskreten F
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Seite 321 und 322:
Kapitel 18 Extremwerte mit Nebenbed
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18.2. Lagrangemultiplikatoren 313 d
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18.2. Lagrangemultiplikatoren 315 W
Seite 327 und 328:
18.2. Lagrangemultiplikatoren 317 L
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Kapitel 19 Mehrfache Integrale Zur
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19.2. Verallgemeinerung des Fläche
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19.2. Verallgemeinerung des Fläche
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19.3. Variablensubstitution in eine
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19.4. Berechnung von Trägheitsmome
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19.4. Berechnung von Trägheitsmome
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Kapitel 20 Arbeit und Linienintegra
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20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
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20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
Seite 347 und 348:
20.2. Das Linienintegral 337 y x Ab
Seite 349 und 350:
20.2. Das Linienintegral 339 Beispi
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20.2. Das Linienintegral 341 y P(1,
Seite 353 und 354:
20.3. Linienintegral im Potenzialfe
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Seite 357 und 358:
Seite 359 und 360:
Seite 361 und 362:
Kapitel 21 Differenzialgleichungen
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21.3. Problemstellungen mit Differe
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21.5. Differenzialgleichungen von K
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21.6. Integration von Differenzialg
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21.7. Orthogonaltrajektorien 363 b.
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21.8. Integration von linearen Diff
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21.9. Variation der Konstanten 367
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21.9. Variation der Konstanten 369
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21.10. Ansatzmethode und Superposit
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Seite 385 und 386:
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21.11. Differenzialgleichungen zwei
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21.11. Differenzialgleichungen zwei
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21.12. Allgemeine Betrachtungen zu
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21.13. Homogene lineare Differenzia
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21.15. Inhomogene lineare Differenz
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Seite 403 und 404:
Seite 405 und 406:
21.16. Zusammenstellung der Lösung
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Kapitel 22 Differenzialgleichungen
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22.1. Freier Fall mit und ohne Luft
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22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
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22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
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22.3. Die freie Schwingung 405 Wenn
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22.3. Die freie Schwingung 407 R R
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22.3. Die freie Schwingung 409 Aufg
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22.4. Die erzwungene Schwingung 411
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Kapitel 23 Systeme von Differenzial
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23.1. Systeme von linearen Differen
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Anhang A Anwendungen A.1 Elementare
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A.2. Folgen 423 Abbildung A.2.i: Ta
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A.2. Folgen 425 x Um lim n+1 −x x
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A.3. Fraktale 427 Abbildung A.3.ii:
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A.3. Fraktale 429 n = 1 Iterationen
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A.4. Rollkurven 431 A.3.4 Mengerwü
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A.5. Bauwerke mathematisch betracht
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A.5. Bauwerke mathematisch betracht
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A.6. Aus der Stochastik 437 berechn
Seite 449 und 450:
Anhang B Tafeln B.1 Tafel der Grund
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Literaturverzeichnis [1] M. Aigner
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Index N, 1 N 0 , 1 Z, 1 Q, 1 R, 1 C
Seite 455 und 456:
Index 445 Entropie, 349 Entwicklung
Seite 457 und 458:
Index 447 abgeschlossen, 4 beschrä
Seite 459 und 460:
Index 449 Nullstelle, 21 Formel, 21
Seite 461 und 462:
Index 451 Stokes George Gabriel, 18
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