Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.11. Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 379
Aufgabe 21.11.2. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von
y ′′ −y ′ = −x 2 +2x.
Aufgabe 21.11.3. Bestimmen Sie die partikuläre Lösung von
y ′′ = 1+y ′2
mit den Anfangsbedingungen y(0) = y ′ (0) = 0.
Aufgabe 21.11.4. Bestimmen Sie die partikuläre Lösung von
y ′′
y ′ =
1
xln(x)
mit den Anfangsbedingungen y(1) = 0 und y ′ (e) = π.
Aufgabe 21.11.5. Bestimmen Sie die partikuläre Lösung von
¨s = ṡ
t +tsin(t)
mit den Anfangsbedingungen s(0) = 0 und s( π 2 ) = 1− π 2 .
Aufgabe 21.11.6. Bestimmen Sie die partikuläre Lösung von
t d2 T
dt 2 = dT ( ) 1
dt ln dT
t dt
mit den Anfangsbedingungen T(0) = 0 und dT
dt
(1) = 1.
Aufgabe 21.11.7. Bestimmen Sie die Gleichung der Bewegung, bei der die Beschleunigung
konstant ẍ = 10ms −2 ist. Ermitteln Sie den bis zum Zeitpunkt t = 2s zurückgelegten Weg,
wenn x(0) = 0 und v(0) = 5ms −1 vorgegeben ist.
Aufgabe 21.11.8. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v eines unter seinem Gewicht mg
aus der Ruhelage fallenden Objekts unter Berücksichtigung des Reibungswiderstandes und
des Luftwiderstandes. Setzen Sie die Reibungskraft F R = −λv 2 und den Luftwiderstand
F L = −mkv 2 .
Lösungen
Im Folgenden bezeichnen C und D ∈ R Konstanten.
Lösung 21.11.1. y(x) = D +Ce −2x + 1 3 ex
Lösung 21.11.2. y(x) = Ce x + x3
3 +D
Lösung 21.11.3. y p (x) = −ln(|cos(x+nπ)|) mit n ∈ Z
Lösung 21.11.4. y p (x) = π(xln(x)−x+1)
Lösung 21.11.5. s p (t) = 1−tsin(t)−cos(t)
Lösung 21.11.6. Substituieren Sie u = 1 t
Lösung 21.11.7. x p (2s) = 30m
dT
dt , dann folgt T p(t) = e−(t+1)e 1−t .
Lösung 21.11.8. Es ist v p (t) =
√
g
a tanh(√ agt), wobei a = λ m +k.