Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

26 Kapitel 2. Funktionen
a. monoton wachsend, wenn für beliebige Werte x 1 und x 2 in I mit x 1 < x 2 gilt
f(x 1 ) ≤ f(x 2 ).
(2.8.a)
b. monoton fallend, wenn für beliebige Werte x 1 und x 2 in I mit x 1 < x 2 gilt
f(x 1 ) ≥ f(x 2 ).
(2.8.b)
Wir sprechen von einer strengen Monotonie, wenn die Bedingungen 2.8.a und 2.8.b durch
die Bedingungen f(x 1 ) < f(x 2 ) und f(x 1 ) > f(x 2 ) ersetzt werden können.
Beispiel 2.8.1. Die Exponentialfunktion
f : R −→ R
x ↦−→ 2 −x ,
ist streng monoton fallend (vgl. Abbildung 2.8.i).
Beispiel 2.8.2. Die Wurzelfunktion
f : [0,∞] −→ R
x ↦−→ √ x
ist streng monoton wachsend (vgl. Abbildung 2.8.ii).
y
f(x 1 )
f(x 2 )
x 1 x 2
x
f(x 2 )
f(x 1 )
Abbildung 2.8.i: y = 2 −x x 1 x 2
y
Abbildung 2.8.ii: y = √ x
x
2.9 Beschränkte Funktionen
Eine Funktion f heisst beschränkt, wenn die Beträge der Funktionswerte nicht über einen
gewissen endlichen Betrag hinausgehen, das heisst, es gibt eine reelle Zahl C, so dass
gilt.
Beispiel 2.9.1. Die Funktion
ist beschränkt (vgl. Abbildung 2.9.i).
|f(x)| < C für alle x ∈ X f
f : R −→ R
x ↦−→ sin(x)