Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

6.5. Allgemeine Flächenberechnungen 147
y
4
y = x 2
2
x
Abbildung 6.5.iv: Die Kurve y = x 2
• In der ersten Methode wenden wir die Formel (6.5.a) an die Funktionen f(x) = x 2
und g(x) = 4 an. Die Schnittstellen sind a = 0 und b = 2, woraus der zu berechnende
Flächeninhalt folgt:
∫ b
a
(g(x)−f(x))dx =
∫ 2
0
(4−x 2 )dx =
)∣ (4x− x3 ∣∣∣
2
= 16 3
0
3 .
• Die zweite Möglichkeit besteht darin, nach y statt nach x zu integrieren. Wir betrachten
die Funktion h(y) = √ y = y 1 2 zwischen den Stellen y = 0 und y = 4 und fahren wie
üblich fort:
Aufgaben
∫ 4
0
h(y)dy =
∫ 4
0
y 1 2 dy =
2y 3 2
3
4
∣ = 16 3 .
Aufgabe 6.5.1. Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der Kurve y = f(x) und der
x-Achse von x = a bis x = b.
a. f(x) = x2 +3
2x , a = 1 und b = 4
0
b. f(x) = x 5
+2, a = 1 und b = 5
c. f(x) = 2x
, a = 0 und b = 10
10
d. f(x) = x+sin(x), a = 0 und b = 2π
e. f(x) = x 2 −5x+4, a = 0 und b = 6
f. f(x) = cos(x)−sin(x), a = 0 und b = 2π