Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4.2. Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Binomischer Satz 59
• Vererbung. Jetzt ist zu zeigen, dass der Satz auch für n+1 gültig ist. Anders gesagt
müssen wir die folgende Aussage beweisen:
( ) ( ) ( ) ( )
n+1 n+1 n+1 n+1
(a+b) n+1 = a n+1 + a n b+···+ ab n + b n+1 .
0 1 n n+1
Wir formen die linke Seite dieser Aussage so um, dass wir schlussendlich die rechte Seite
erhalten:
(a+b) n+1
=(a+b)(a+b) n
[( ( ( ) ( ]
∗ n n n n
=(a+b) a
0)
n + a
1)
n−1 b+···+ ab n−1 +
n−1 n)b n
[( ( ( ) ( ]
n n n n
= a
0)
n+1 + a
1)
n b+···+ a 2 b n−1 +
n−1 n)ab n +
[( ( ( ) ( ]
n n n n
a
0)
n b+ a
1)
n−1 b 2 +···+ ab n +
n−1 n)b n+1
( ) [( ( [( ( )] ( )
n+1 n n n n n+1
= a n+1 + + a
0 1)
0)]
n b+···+ + ab
n)
n + b n+1
n−1 n+1
( ) ( ) ( ) ( )
n+1 n+1 n+1 n+1
= a n+1 + a n b+···+ ab n + b n+1 ,
0 1 n n+1
wobei die Gleichheit ∗ = aus der Induktionshypothese folgt.
Der binomische Satz erlaubt uns, beliebige Terme des Pascalschen Dreiecks zu bestimmen:
Die Zahl in der n-ten Zeile und der k-ten schrägen Reihe von links unten nach rechts oben,
wobei wir die Nummerierung von Zeilen und Reihen jeweils mit 0 beginnen, ist nichts anders
als ( n
k)
. In anderen Worten lässt sich das Pascalsche Dreieck wie folgt darstellen:
( 0
( 0)
1
) ( 1
( 0 1)
2
) ( 2
) ( 2
( 0 1 2)
3
) ( 3
) ( 3
) ( 3
( 0 1 2 3)
4
) ( 4
) ( 4
) ( 4
) ( 4
0 1 2 3 4)
Beispiel 4.2.3. Wir möchten den Koeffizienten des Terms x 5 in der Entwicklung von
.
( x
8 +2 ) 20
bestimmen. Laut dem binomischen Satz bekommen wir nach dem Ausmultiplizieren der 20
Faktoren dieses Ausdrucks Summanden der Form
( ) 20 (x ) 20−k2 k ,
k 8