Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

298 Kapitel 16. Extremstellen bei mehreren unabhängigen Variablen
minimal wird. Wir berechnen die ersten partiellen Ableitungen und setzen sie gleich null
S x (x,y) = 2
S y (x,y) = 2
Dann folgt
n∑ n∑
(x−x i )= 2 x−2
i=1
n∑
(y −y i ) = 2
i=1
i=1
n∑
y −2
n∑ n∑
x i = 2nx−2 x i = 0,
i=1
n∑
y i = 2ny −2
i=1
i=1 i=1 i=1
n∑
y i = 0.
¯x = 1 n
ȳ = 1 n
n∑
x i ,
i=1
n∑
i=1
y i
und somit ist der gesuchte Punkt P(x,y) = (¯x,ȳ). Die Koordinaten von P sind also die
y
•
•
P(¯x,ȳ)
•
•
•
•
P i (x i , y i )
Abbildung 16.1.iii: Schwerpunkt einer Punktwolke
arithmetischen Mittel der Koordinaten der gegebenen Punkte. Es handelt sich also in einem
gewissen Sinne um den Schwerpunkt.
Die Frage stellt sich nun, ob es sich beim gefundenen Punkt um ein Extremum oder einen
Sattelpunkt handelt. Um dies abzuklären, berechnen wir die zweiten partiellen Ableitungen
im Punkt P der Funktion S:
S xx (x,y) = 2n
S yy (x,y) = 2n
S xy (x,y) = S xy (x,y) = 0
Damit wird S xx (¯x,ȳ) · S yy (¯x,ȳ)−S xy (¯x,ȳ) 2 = 4n 2 > 0 und der gefundene Punkt ist somit
ein Extrempunkt, da S xx (¯x,ȳ) > 0 handelt es sich in der Tat um ein Minimum.
x
16.2 Methode der kleinsten Quadrate (lineare Regression)
Gegeben sei eine Punktewolke von n Punkten P i (x i ,y i ). Gesucht ist die Gerade mit der
Gleichung y = ax+b, die diese Punktewolke im Sinnevon Gauss möglichst gut annähert. Dies