Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

122 Kapitel 5. Anwendungen der Differenzialrechnung
y
•
y = f(x)
•
•
•
a
x e
x Spitze
Abbildung 5.4.iv: Eine Kurve mit einem lokalen Maximum (resp. lokalen Minimum) am linken
(resp. rechten) Randpunkt des Definitionsintervalls, einem globalen Minimum und einer
Spitze.
b
x
Definition 5.4.5. Wendepunkte sind Punkte der Kurve, die zwei verschiedene Krümmungsverhalten
trennen. Übergang von konvex zu konkav bzw. umgekehrt. Sattelpunkte 3
sind Wendepunkte der Kurve mit einer horizontalen Tangente.
y
y = f(x)
konkav
f ′′ (x) < 0
f ′′ (x) = 0
•
konvex
f ′′ (x) > 0
x w
x
Abbildung 5.4.v: Ein Wendepunkt trennt verschiedene Krümmungsverhalten.
Satz 5.4.6 (Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt bzw. Sattelpunkt). Die Funktion
f sei an den Stellen x w ,x s ∈ X f dreimal differenzierbar.
a. Bei x w hat die Funktion f einen Wendepunkt ⇐= f ′′ (x w ) = 0 und f ′′′ (x w ) ≠ 0.
b. Bei x s hat die Funktion f einen Sattelpunkt ⇐= f ′ (x s ) = f ′′ (x s ) = 0 und f ′′′ (x s ) ≠ 0.
Bei einem Wendepunkt x w hat also f ′′ einen Vorzeichenwechsel, das heisst der Drehsinn der
Tangente ändert in diesem Kurvenpunkt. Ein Sattelpunkt x s ist ein spezieller Wendepunkt.
3 Es wird auch der Begriff Terassenpunkt verwendet.