Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.6. Integration von Differenzialgleichungen durch Separation 357
Lösungen
Lösung 21.5.1.
a. tanh(x)y ′ −y = 0
b. coth(x)y ′ −y = 0
c. y ′′ −y = 0
d. sin(x)cos(x)y ′ +y = 0
Lösung 21.5.2. y ′′′ = 0
Lösung 21.5.3.
a. 2xy ′ −y = 0
c. y ′ −2xy = 0
b. e y y ′ −1 = 0
Lösung 21.5.4. Vgl. Kapitel 2.3 und Beispiel 4.1.1, y ′2 +4y −4xy ′ = 0
Lösung 21.5.5. xy ′ +y = 0
Lösung 21.5.6. y 2 y ′2 +y 2 = r 2
Lösung 21.5.7. (x 2 −ax)y ′ +(a−2x)y = 0
Lösung 21.5.8. (x−a)y ′ = 2y
21.6 Integration von Differenzialgleichungen erster Ordnung
durch Separation
Im Folgenden betrachten wir ausschliesslich Differenzialgleichungen der Form
y ′ (x) = g(x)h(y(x)).
(21.6.a)
Zum Beispiel
y ′ = sin(x)cos(y) oder y ′ = e x+y .
Ist eine Differenzialgleichung der Form (21.6.a) gegeben, so lösen wir diese durch Separation
oder Trennen der Variablen. Zuerst trennen wir die Variablen
y ′ = dy
dx = g(x)h(y)
und sortieren auf der linken Seite alles mit y und auf der rechten Seite alles mit x
dy
h(y) = g(x)dx.
Danach integrieren wir beide Seiten
∫
∫
dy
h(y) =
g(x)dx
und lösen die Gleichung – wenn möglich – nach y auf.