Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

5.4. Untersuchung von Funktionen – Kurvendiskussion 119
6. Monotonieverhalten und Extrempunkte
Wir beginnen mit einer kurzen Rekapitulation der Definition der Monotonie.
Definition 5.4.1. Eine Funktion f heisst im Intervall I monoton wachsend 1 (in Zeichen
↑), wenn für irgend zwei Werte x 1 und x 2 im Intervall I mit x 1 < x 2 stets f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) gilt.
Sie heisst monoton fallend (in Zeichen ↓), wenn mit x 1 < x 2 stets f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) gilt.
Es ist zu beachten, dass das Gleichheitszeichen zugelassen ist. Gilt im ganzen Intervall eine
strenge Ungleichung f(x 1 ) < f(x 2 ) bzw. f(x 1 ) > f(x 2 ), so sprechen wir von strenger
Monotonie (in Zeichen ⇑ bzw. ⇓).
Ein Bogen mit dem gleichen Monotonieverhalten nennen wir einen Monotoniebogen.
y
y
f ′ (x) > 0 • f ′ (x) < 0
⇓
f ′ (x) = 0
⇑
⇑
f ′ (x) = 0
⇓
•
f ′ (x) < 0 f ′ (x) > 0
x
x
Abbildung 5.4.i: Extrempunkte
Satz 5.4.1 (Monotonieverhalten). Die Funktion f sei im Intervall I differenzierbar.
a. Die Funktion f ist streng monoton wachsend im Intervall I ⇐= f ′ (x) > 0 für alle x ∈ I.
b. Die Funktion f ist streng monoton fallend im Intervall I ⇐= f ′ (x) < 0 für alle x ∈ I.
Definition 5.4.2. Extrempunkte sind Punkte der Kurve, die zwei verschiedene Monotonieverhalten
(Monotoniebögen) trennen. Übergang von streng monoton wachsend zu streng
monoton fallend bzw. umgekehrt.
Satz 5.4.2 (Notwendige Bedingung für eine Extremstelle). Die Funktion f sei an der Stelle
x e ∈ X f differenzierbar. Die Stelle x e ist eine Extremstelle =⇒ f ′ (x e ) = 0.
DieUmkehrungvonSatz5.4.2istimAllgemeinenfalsch,wiedasfolgendeBeispieleindrücklich
zeigt.
Beispiel 5.4.1. Wir betrachten die Funktion f(x) = x 3 und stellen fest, dass f ′ (0) = 0.
Aber bei x = 0 hat die Funktion f keine Extremstelle, da das Monotonieverhalten dort nicht
ändert. Die Funktion f ist auf ganz R monoton wachsend. Später werden wir sehen, dass f
im Punkt P(0,0) einen Sattelpunkt hat.
Definition 5.4.3 (Lokales 2 Minimum und lokales Maximum). a. Die Funktion f hat an
der Stelle x min ∈ X f eine (lokale) Minimumstelle, wenn es eine Umgebung V von
x min gibt, in der für alle x ∈ V gilt f(x) ≥ f(x min ). Der Punkt P(x min ,f(x min )) heisst
lokales Minimum der Funktion f.
1 Es wird etwa auch monoton steigend gesagt.