Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

264 Kapitel 12. Unendliche Reihen
Wir machen den allgemeinen Ansatz
1
cos(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +··· .
Da der Kosinuseine gerade Funktion ist, folgt sofort, dass dieungeraden Koeffizienten unseres
Ansatzes verschwinden, i.e., a 2n+1 = 0füralle n ∈ N 0 . Nunkennen wir bereits diePotenzreihe
für cos(x) = ∑ ∞ (−1) n
n=0 (2n)! x2n , also folgt mit dem verdünnten Ansatz
1 =
Nach dem Ausmultiplizieren
(1− x2
2! + x4
4! − x6
6! +···)
(a 0 +a 2 x 2 +a 4 x 4 +···).
1 = a 0 +a 2 x 2 +a 4 x 4 +a 6 x 6 +a 8 x 8 +···
− a 0
2! x2 − a 2
2! x4 − a 4
2! x6 − a 6
2! x8 −···
+ a 0
4! x4 + a 2
4! x6 + a 4
4! x8 +···
− a 0
6! x6 − a 2
6! x8 −···
können wir einen Koeffizientenvergleich machen und erhalten
Damit folgt die Taylorreihe
a 0 = 1, a 0 = 1,
a 2 − a 0
2! = 0, a 2 = a 0
2 = 1 2 ,
.
. ..
a 4 − a 2
2! + a 0
4! = 0, a 4 = a 2
2 − a 0
24 = 5
24 ,
a 6 − a 4
2! + a 2
4! − a 0
6! = 0, a 6 = a 4
2 − a 2
24 + a 0
720 = 61
720 ,
.
1
cos(x) = 1+ 1 2 x2 + 5 24 x4 + 61
720 x6 +··· .
Beispiel 12.12.2. Betrachten wir die Funktion
f(x) = x2 −1
x
Dann sehen wir, dass f nicht mit den herkömmlichen Methoden in eine Potenzreihe mit
Entwicklungspunkt a = 0 zu entwickeln ist, da f bei x = 0 eine Polstelle hat. Würden wir
gleichwohl einen herkömmlichen Ansatz
x 2 −1
x
= a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +···
.