Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

94 Kapitel 4. Differenzialrechnung
Aufgaben
Aufgabe 4.13.1. Leiten Sie folgende Funktionen ab, ohne zuerst zu logarithmieren. Dabei
sind a ∈ R und ω ∈ R mit a > 0.
a. f(x) = 2 x
b. f(x) = x 2 e x
c. f(t) = sin(t)
e t
d. f(x) = a x x a
e. f(t) = e √ t
f. f(x) = e cos(x)
g. f(x) = e ln(x)
h. f(u) = e u cos(u)
i. f(t) = et −e −t
2
j. f(t) = et −e −t
e t +e −t
k. f(x) = √ 1−e 2x
l. f(t) = e sin(ωt)
m. f(z) = √ 1+a z
n. f(x) = 2 x e x
o. f(u) = ln(e 2u−1 )
p. f(x) = 2ex
e x +e −x
q. f(x) = e − 1
x 2
r. f(x) =
1
2−e 1
1−x
Aufgabe 4.13.2. Leiten Sie die folgende Funktionen ab, in dem Sie die Funktionsgleichung
zuerst logarithmieren.
(
c. f(x) = 1+ 1 ) x
x
f. f(x) = x xcos(x)
a. f(x) = x sin(x)
d. f(x) = x√ x
b. f(x) = sin(x)x cos(x)
e. f(x) = x 1−cos(x)
Aufgabe 4.13.3. Bilden Sie die Ableitung y ′ , in dem Sie die implizit dargestellte Funktionsgleichung
zuerst logarithmieren.
a. y x = 2e x b. y x = x y
Aufgabe 4.13.4. Leiten Sie die Quotientenregel her, in dem Sie die Gleichung
f(x) = u(x)
v(x)
zuerst logarithmieren und danach differenzieren.
Aufgabe 4.13.5. Bilden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen, wobei α, a und b
beliebige reelle Zahlen sind.
a. f(x) = ln(e x +e −x −2) b. f(x) = e αx (asin(bx)−bcos(bx))