Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

238 Kapitel 12. Unendliche Reihen
b. Die alternierende Reihe
∞∑
n=1
(−1) n+1
√ n
ist konvergent, da lim n→∞
∣ ∣∣ (−1) n+1
√ n
∣ ∣∣ = limn→∞
1 √n = 0.
c. Die alternierende Reihe
ist divergent.
∞∑
cos(nπ) = 1−1+1−1+−···
n=0
Absolute Konvergenz
Definition 12.3.1. Eine Reihe heisst absolut konvergent, wenn die Reihe der absoluten
Beträge konvergiert.
Korollar 12.3.2. Aus der absoluten Konvergenz folgt die gewöhnliche Konvergenz.
Die Umkehrung des Korollars 12.3.2 ist falsch, denn die alternierende harmonische Reihe
∑ ∞ (−1) n+1
n=0 n
konvergiert nach dem Konvergenzkriterium von Leibniz. Sie ist aber nicht absolut
konvergent, da
∞∑
(−1) n+1
∞ ∣ n ∣ = ∑ 1
n
n=1
die divergente harmonische Reihe darstellt.
Vergleichskriterien
Wir können das Konvergenzverhalten einer Reihe untersuchen, indem wir ihre Glieder mit
Gliedern von bekannten Reihen vergleichen.
Definition 12.3.2. Es seien
∞∑
R = u n mit u n ≥ 0 für alle n ∈ R,
S =
n=1
n=1
∞∑
v n mit v n ≥ 0 für alle n ∈ R.
n=1
Falls u n ≥ v n für alle n > n 0 ab einem bestimmten Index n 0 ∈ N gilt, so heisst R eine
Majorante von S und S eine Minorante von R.
Satz 12.3.3 (Majorantenkriterium). Besitzt eine Reihe ∑ ∞
n=1 v n mit nichtnegativen Gliedern
eine konvergente Majorante ∑ ∞
n=1 u n, so ist sie konvergent.
Ist insbesondere u n ≥ v n für alle n, also n 0 = 0 (oder n 0 = 1 je nach Reihe), so ist
∞∑
v n ≤
n=1
∞∑
u n .
n=1