Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

280 Kapitel 13. Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen
Der Unterschied zwischen effektivem und linearisierten Zuwachs ergibt sich zu
|∆f −df| = 6−4 = 2.
Bei der Linearisierung machen wir diesen Fehler. Beachten Sie, dass der Linearisierungsfehler
umso kleiner ist, desto kleiner die Änderungen sind.
In analoger Weise wie in zwei Dimensionen kann eine Funktion in mehreren Variablen linearisiert
werden Es sei die Funktion f in den Variablen x 1 ,...,x n gegeben. Die Variablen
x 1 ,...,x n sollen nun um dx 1 ,...,dx n verändert werden. Das vollständige Differenzial,
der so genannte linearisierte Funktionswertzuwachs, ergibt sich zu
Der effektive Funktionswertzuwachs ist
df = f x1 dx 1 +···+f xn dx n .
∆f = f(x 1 +dx 1 ,...,x n +dx n )−f(x 1 ,...,x n ).
Für kleine Variablenänderungen dx 1 ,...,dx n gilt
∆f ≈ df,
das heisst, es kann ∆f näherungsweise durch df ersetzt werden.
Aufgabe
Aufgabe 13.5.1. Berechnen Sie ∆f und df und deren Linearisierungsfehler für die Funktion
f(x,y) = y 2 +xy mit x = 1, y = 2 und dx = 0.2, dy = 0.1
Lösung 13.5.1. ∆f = 0.93 und df = 0.90
Beispiel 13.5.2. Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen x und y ist
F(x,y) = xy.
Nun vergrössern wir die eine Seite um dx und die andere Seite um dy.
dy
x
y
dx
y + dy
x + dx
Abbildung 13.5.iii: Der Linearisierungsfehler bei der Berechnung des Flächeninhalts eines
Rechtecks.
Dann ergibt sich der linearisierte Flächenzuwachs
dF = F x (x,y)dx+F y (x,y)dy = ydx+xdy,