Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 20
Arbeit und Linienintegrale
Arbeit wird definiert als Kraft mal dem Weg in Richtung der Kraft oder kurz Kraft längs des
Weges. Im dreidimensionalen Raum gibt es allerdings mehrere Richtungen und das Teilchen
kann, theoretisch gesehen, auf einer Bahnkurve unendlich oft die Richtung ändern und somit
müssten wir unendlich oft Richtungsänderungen mit einbeziehen. Um diese Aufgabe zu lösen,
bedienen wir uns des so genannten Linienintegrals.
Es gibt aber auch Fälle bei denen die geleistete Arbeit vom Weg unabhängig ist. Zum Beispiel
spielt es im Gravitationsfeld der Erde keine Rolle, auf welchem Weg eine Masse m die Höhe
h überwindet, die Arbeit ist immer W = mgh. In diesem Fall sprechen wir von einem so
genannten Potenzialfeld. Für ein gegebenes Kraftfeld entscheiden wir an Hand einer Bedingung,
ob es sich um ein Potenzialfeld handelt oder nicht. Im Fall eines Potenzialfeldes
berechnen wir ein Potenzial, welches uns die Bestimmung der geleisteten Arbeit wesentlich
erleichtert. Das Linienintegral hängt dann nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom
eingeschlagenen Weg ab.
20.1 Kurven und Vektorfelder im Raum und in der Ebene
Kurven
Liegt eine Kurve in Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t) und z = z(t) vor, so können
die Komponentenkoordinaten zu einem t-abhängigen Vektor ⃗r(t) zusammengefasst werden.
In der Ebene haben wir
( ) x(t)
⃗r(t) = = x(t)⃗e
y(t) x +y(t)⃗e y
und im Raum
⎛
⃗r(t) = ⎝
x(t)
y(t)
z(t)
⎞
⎠ = x(t)⃗e x +y(t)⃗e y +z(t)⃗e z .
Durch komponentenweises Differenzieren ergibt sich der Tangentialvektor an die Kurve. In
der Ebene gilt
( ) ẋ(t) ˙⃗r(t) = = ẋ(t)⃗e
ẏ(t) x +ẏ(t)⃗e y
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