Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 10
Volumen, Oberflächen- und
Bogenlängenberechnungen
10.1 Volumen von Rotationskörpern
Wir berechnen das Volumen eines Rotationskörpern bei Rotation einer Kurve y = f(x) mit
x ∈ [a,b], umdiex-Achse (resp.y-Achse). Die Volumenberechnungwirdähnlich durchgeführt,
d
y
y = f(x)
f(ξ i )
∆x i
c
a
x i−1ξ i x i
b
x
Abbildung 10.1.i: Volumeninhalt eines Körpers, der um die x-Achse rotiert wird.
wie die Flächenberchnung mit dem Riemannschen Integral. Wiederum zerlegen wir das Intervall
[a,b] in n Teilintervalle mit den Intervallgrenzen
a = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 < ··· < x i−1 < x i < ··· < x n = b.
Wir berechnen das Volumen eines Zylinders der Höhe ∆x i = x i −x i−1 mit dem Radius f(ξ i ),
wenn ξ i ∈ [x i−1 ,x i ] ein beliebiger Wert ist. Wir erhalten
Dann bilden wir die Summe
∆V i = π(f(ξ i )) 2 ∆x i .
n∑
∆V i = π
i=1
n∑
(f(ξ i )) 2 ∆x i .
i=1
185