Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

30 Kapitel 2. Funktionen
tensteigung.
√ √
∆y x+∆x− x
∆x = √
∆x
√ √ √ x+∆x− x x+∆x+ x
= · √ √
∆x x+∆x+ x
x+∆x−x
=
∆x (√ x+∆x+ √ x )
=
1
√
x+∆x+
√ x
Jetzt, wenn wir ∆x gegen 0 streben lassen, erhalten wir die Tangentensteigung
1
2 √ x .
Aufgaben
Aufgabe 2.10.4. Bestimmen Sie den Differenzenquotienten und die Tangentensteigung der
Funktion f(x) = √ x an der Stelle x = 1 für ∆x = 0.1, 0.01, 0.001 und 0. Veranschaulichen
Sie sich die Zusammenhänge in einem Grafen.
Aufgabe 2.10.5. Bestimmen Sie den Differenzenquotienten der folgenden Funktionen an der
Stelle x und formen Sie so um, dass durch ∆x gekürzt werden kann.
a. f(x) = 4
x 2
b. f(x) = 1 √ x
d. f(x) = √ 1−x 2
e. f(x) = √ 1− √ x
c. f(x) = 1
f. f(x) = 1−√ x
1+x 2 1+ √ x
Lösungen
Lösung 2.10.4. Die Differenzenquotienten und die Tangentensteigung werden in der folgenden
Tabelle dargestellt.
Lösung 2.10.5.
∆x 0.1 0.01 0.001 0
∆y
∆x
0.488 0.4987 0.49988 0.5
a.
−8x−4∆x
x 2 (x+∆x) 2
d.
−2x−∆x
√
1−(x+∆x) 2 + √ 1−x 2
b.
−1
x √ x+∆x+ √ x(x+∆x)
e.
−1
(√
1−
√
x+∆x+
√
1−
√ x
)(√ x+
√
x+∆x
)
c.
−2x−∆x
(1+(x+∆x) 2 )(1+x 2 )
f.
−2
(
1+
√
x+∆x
)(
1+
√ x
)(√ x+
√
x+∆x
)