Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

274 Kapitel 13. Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen
Daraus ergeben sich die Tangentensteigung im Punkt P(1,2,5) zu
tan(α) = ∂
∂x f(x,y) ∣
∣∣∣x=1
y=2
= f x (1,2) = 2
tan(β) = ∂ ∣
∣∣∣x=1
∂y f(x,y) = f y (1,2) = 4.
Beispiel 13.3.2. Wir betrachten die Funktion
y=2
f(x,y) = x y .
Die partiellen Ableitungen ergeben sich zu
∂
∂x f(x,y) = f x(x,y) = 1 y
und
∂
∂y f(x,y) = f y(x,y) = − x y 2.
Aufgaben
Berechnen Sie jeweils die ersten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen.
Aufgabe 13.3.1. f(x,y) = x 3 −8x 2 y +xy 2 +15x−20y +2
Aufgabe 13.3.2. f(x,y,z) = x 5 +6x 3 y −2x 2 yz +3yz 3
Aufgabe 13.3.3. f(x,y) = 3x2 +2xy 2
1−x
Aufgabe 13.3.4. f(x,y) = cos(x+y)cos(x−y)
Aufgabe 13.3.5. f(x,y) = arctan( y x )
Aufgabe 13.3.6. f(x,y,z) = e x ln(y)+z 2 cos(y)
Aufgabe 13.3.7. v(p,t) = v 0
p 0
p
(1+αt)
Aufgabe 13.3.8. I 1 (R 1 ,R 2 ) = I
Lösungen
R 2
R 1 +R 2
Lösung 13.3.1. f x (x,y) = 3x 2 −16xy +y 2 +15 und f y (x,y) = −8x 2 +2xy −20
Lösung 13.3.2. f x (x,y,z) = 5x 4 + 18x 2 y − 4xyz, f y (x,y,z) = 6x 3 − 2x 2 z + 3z 3 und
f z (x,y,z) = −2x 2 y +9yz 2
Lösung 13.3.3. f x (x,y) = 6x+2y2 −3x 2
(1−x) 2
und f y (x,y) = 4xy
1−x
Lösung 13.3.4. f x (x,y) = −sin(2x) und f y (x,y) = −sin(2y)
Lösung 13.3.5. f x (x,y) = − y
x 2 +y 2 und f y (x,y) = x
x 2 +y 2
Lösung 13.3.6. f x (x,y,z) = e x ln(y), f y (x,y,z) = ex y −z2 sin(y) und f z (x,y,z) = 2zcos(y)
Lösung 13.3.7. v p (p,t) = −v 0
p 0
p 2 (1+αt) und v t (p,t) = v 0
p 0
p
α
Lösung 13.3.8.
∂I 1
R 2
∂R 1
(R 1 ,R 2 ) = −I
(R 1 +R 2
und ∂I ) 2 1
∂R 2
(R 1 ,R 2 ) = I
R 1
(R 1 +R 2 ) 2