Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

288 Kapitel 14. Ableitung impliziter Funktionen
Abbildung 14.1.i: Tangentialebene an die Fläche z = F(x,y) im Punkt P(x,y,0). Bild: aus
[17], Seite 400.
Beispiel 14.1.1. Die Tangentensteigung am Kreis
x 2 +y 2 = 4
im Punkt P(1, √ 3) ist gesucht. Somit ist F(x,y) = x 2 +y 2 −4. Wir berechnen die partiellen
Ableitungen F x = 2x und F y = 2y und daraus die Tangentensteigung
y ′ (x,y) = − 2x
2y = −x y .
Die Steigung im gesuchten Punkt ist demzufolge y ′ (1, √ 3) = − 1 √
3
.
Beispiel 14.1.2. Die Tangente an die Parabel
y 2 = 2px
im Punkt P(x 0 ,y 0 ) ist gesucht. Somit ist F(x,y) = y 2 − 2px. Wir berechnen wiederum die
partiellen Ableitungen F x = −2p und F y = 2y und daraus die Tangentensteigung
y ′ (x,y) = − −2p
2y = p y .
Die Gleichung der Tangenten im Punkt P(x 0 ,y 0 ) mit der Steigung p y 0
ist
y −y 0
x−x 0
= p y 0
(vgl. Kapitel 2.3). Durch Ausmultiplizieren erhalten wir yy 0 − 2px 0 = px − px 0 . Wenn wir
y 2 0 = 2px 0 ersetzen, dann folgt die implizite Tangentengleichung
yy 0 = p(x+x 0 )
und die nach y aufgelöste explizite Tangentengleichung
y = p y 0
x+ 1 2 y 0.