Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

58 Kapitel 4. Differenzialrechnung
Aufgaben
Aufgabe 4.2.1. Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N 0 und k ∈ N 0 mit n ≥ k die folgende
Aussage gilt:
( ) ( n n
=
n−k k)
Aufgabe 4.2.2. Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N 0 und k ∈ N 0 mit n ≥ k +1 die folgende
Aussage gilt:
( ( ) ( )
n n n+1
+ =
k)
k+1 k+1
Lösungen
Lösung 4.2.1. Folgt sofort aus Definition 4.2.2.
Lösung 4.2.2.
( ( ) n n
+ =
k)
k+1
=
n!
k!(n−k)! + n!
(k +1)!(n−k−1)!
n!
k!(n−k)(n−k−1)! + n!
(k +1)k!(n−k −1)!
(k +1)n!
=
(k+1)k!(n−k)(n−k −1)! + (n−k)n!
(k+1)k!(n−k)(n−k −1)!
(k+1)n!+(n−k)n!
=
(k+1)k!(n−k)(n−k −1)!
= (k+1+n−k)n!
(k +1)!(n−k)!
(n+1)!
=
(k+1)!((n+1)−(k +1))!
( ) n+1
=
k+1
Jetzt sind wir in der Lage, das zentrale Ergebnis dieses Kapitels zu beweisen.
Satz 4.2.1 (Binomischer Satz). Für alle a ∈ R, b ∈ R und n ∈ N 0 gilt die Formel
(a+b) n =
( ( ( ) ( n n n n
a
0)
n + a
1)
n−1 b+···+ ab n−1 + b
n−1 n)
n .
Beweis. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion.
• Verankerung. Wenn n = 0, lautet die zu beweisende Aussage (a + b) 0 = ( 0
0)
, was
offensichtlich der Fall ist. Der Satz ist also für n = 0 gültig.
• Induktionshypothese. Wir nehmen an, der Satz sei für ein gewisses n ∈ N 0 gültig.