Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

11.1. Integration durch Substitution 207
Beispiel 11.1.11. Wir betrachten das Integral
∫ √
5+x 2 dx.
Nun substituieren wir x = √ 5sinh(z), also dx = √ 5cosh(z)dz, dann erhalten wir
∫ √5+x 2 dx = √ √
∫
5∫
5+5sinh 2 (z)cosh(z)dz = 5 cosh 2 (z)dz.
Wir benutzen das Additionstheorem 2cosh 2 (z) = 1+cosh(2z) (vgl. Satz 9.1.1.3-4), dann folgt
∫
5 cosh 2 (z)dz = 5 ∫
(1+cosh(2z))dz = 5 (z + 1 )
2
2 2 sinh(2z) +C
= 5 (z + 1 )
2 2 2sinh(z)cosh(z) +C = 5 (z +sinh(z)cosh(z))+C,
2
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ( ) ist. Nun vollziehen wir die Rücksubstitution mit
sinh(z) = √ x 5
und z = arsinh x√5
und
cosh(z) =
√ √
1+sinh 2 (z) = 1+ x2
5 = √ 1 √5+x 2 . 5
Damit erhalten wir
∫ √
5+x 2 dx = 5 ( ( ) x√5
arsinh + x 1 √
√ √5 5+x
)+C
2 2 5
= 5 ( ) x√5
2 arsinh + x 5+x
2√ 2 +C.
Beispiel 11.1.12. Wir betrachten das Integral
∫
dx
√
9x 2 −6x−3 .
In diesem Fall ergänzen wir den Radikand quadratisch und erhalten
9x 2 −6x−3 = 9 ( x 2 − 6 9 x) −3 = 9 ( x− 1 3) 2 −4 = (3x−1) 2 −4.
Nun substituieren wir ein erstes Mal 3x−1 = w, also 3dx = dw, damit ergibt sich
∫
dx
√
9x 2 −6x−3 = 1 ∫
dw
√
3 w 2 −4 .
Jetzt erfolgt die zweite Substitution w = 2cosh(z), also dw = 2sinh(z)dz. Dann folgt
∫
1 dw
√
3 w 2 −4 = 1 ∫
2sinh(z)
√ dz = 1 ∫ 2sinh(z)
3
4cosh 2 3 2sinh(z) dz = 1 ∫
dz
3
(z)−4
= 1 3 z +C = 1 ( w
)
3 arcosh +C = 1 ( ) 3x−1
2 3 arcosh +C,
2
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.