Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

436 Anhang A. Anwendungen
y
A
•
h
B
•
Kettenlinie
−a
a
x
Abbildung A.5.iv: Die symmetrisch aufgehängte freihängende Kette
Wir wollen die Lösung dieser nicht linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung bei symmetrischer
Aufhängung an den zwei Punkten A(−a,h) und B(a,h) berechnen (vgl. Abbildung
A.5.iv).
Dazu lösen wir obige Differenzialgleichung, indem wir u = y ′ substituieren und
u ′ = q
F H
√
1+u 2
erhalten. Wir trennen die Variablen ∫
Diese Grundintegrale können wir integrieren
du
√ = q ∫
1+u 2 F H
dx.
arsinh(u) = q
F H
x+C,
wobeiC einenochzubestimmendeKonstantebezeichnet.DieseGleichungnachderabhängigen
Variablen u aufgelöst, ergibt ( ) q
u(x) = sinh x+C .
F H
da die Kettenlinie bei symmetrischer Aufhängung im tiefsten Punkt, d.h., an der Stelle x = 0
eine horizontale Tangente besitzt, ist y ′ (0) = u(0) = 0. Aus dieser Eigenschaft berechnen wir
die erste Integrationskonstante C. Es folgt u(0) = sinh(C) = 0, also C = 0.
Durch einmalige Integration erhalten wir nun die Gleichung der Kettenlinie
∫ ( ) q
y = sinh x dx = F ( )
H q
F H q cosh x +D.
F H
Die zweite Integrationskonstante D können wir ( nun ) durch die symmetrischen Randbedingungen
y(−a) = y(a) = h mit D = h− F H
q
cosh q
F H
a bestimmen.
A.6 Aus der Stochastik
A.6.1 Monte-Carlo Integration
Wir wollen das bestimmte Integral
A =
∫ a
0
f(x)dx