Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

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330 Kapitel 19. Mehrfache Integrale
Kapitel 20 Arbeit und Linienintegrale Arbeit wird definiert als Kraft mal dem Weg in Richtung der Kraft oder kurz Kraft längs des Weges. Im dreidimensionalen Raum gibt es allerdings mehrere Richtungen und das Teilchen kann, theoretisch gesehen, auf einer Bahnkurve unendlich oft die Richtung ändern und somit müssten wir unendlich oft Richtungsänderungen mit einbeziehen. Um diese Aufgabe zu lösen, bedienen wir uns des so genannten Linienintegrals. Es gibt aber auch Fälle bei denen die geleistete Arbeit vom Weg unabhängig ist. Zum Beispiel spielt es im Gravitationsfeld der Erde keine Rolle, auf welchem Weg eine Masse m die Höhe h überwindet, die Arbeit ist immer W = mgh. In diesem Fall sprechen wir von einem so genannten Potenzialfeld. Für ein gegebenes Kraftfeld entscheiden wir an Hand einer Bedingung, ob es sich um ein Potenzialfeld handelt oder nicht. Im Fall eines Potenzialfeldes berechnen wir ein Potenzial, welches uns die Bestimmung der geleisteten Arbeit wesentlich erleichtert. Das Linienintegral hängt dann nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen Weg ab. 20.1 Kurven und Vektorfelder im Raum und in der Ebene Kurven Liegt eine Kurve in Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t) und z = z(t) vor, so können die Komponentenkoordinaten zu einem t-abhängigen Vektor ⃗r(t) zusammengefasst werden. In der Ebene haben wir ( ) x(t) ⃗r(t) = = x(t)⃗e y(t) x +y(t)⃗e y und im Raum ⎛ ⃗r(t) = ⎝ x(t) y(t) z(t) ⎞ ⎠ = x(t)⃗e x +y(t)⃗e y +z(t)⃗e z . Durch komponentenweises Differenzieren ergibt sich der Tangentialvektor an die Kurve. In der Ebene gilt ( ) ẋ(t) ˙⃗r(t) = = ẋ(t)⃗e ẏ(t) x +ẏ(t)⃗e y 331
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Analysis I - IV (an) Prof. Dr. Marc
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Liebe Studierende Sie lesen das Vor
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Inhaltsverzeichnis Liebe Studierend
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v 12 Unendliche Reihen 231 12.1 Gru
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vii A.4.2 Epizykloide - Wankelmotor
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Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenl
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1.4. Zahlenmengen und Punktmengen 3
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1.5. Ebene und räumliche Punktmeng
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Kapitel 2 Funktionen 2.1 Beispiele
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2.2. Der Funktionsbegriff 13 Eine F
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2.4. Potenzfunktionen 15 2.4 Potenz
Seite 27 und 28:
2.4. Potenzfunktionen 17 Lösung 2.
Seite 29 und 30:
2.4. Potenzfunktionen 19 y y y = 1
Seite 31 und 32:
2.5. Polynomfunktionen zweiten Grad
Seite 33 und 34:
2.6. Exponentialfunktionen 23 y y 1
Seite 35 und 36:
2.8. Monotonie 25 y y ax 3 −ax 3
Seite 37 und 38:
• • 2.10. Differenzenquotient 2
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2.10. Differenzenquotient 29 Der Au
Seite 41 und 42:
2.10. Differenzenquotient 31 Die Au
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Kapitel 3 Grenzwerte 3.1 Grenzwerte
Seite 45 und 46:
3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 35
Seite 47 und 48:
3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 37
Seite 49 und 50:
3.3. Grenzwerte von Funktionen 39 3
Seite 51 und 52:
3.3. Grenzwerte von Funktionen 41 s
Seite 53 und 54:
3.3. Grenzwerte von Funktionen 43 g
Seite 55 und 56:
3.4. Stetigkeit einer Funktion 45 3
Seite 57 und 58:
3.5. Singularitäten einer Funktion
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3.5. Singularitäten einer Funktion
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3.6. Verhalten von Funktionen im Un
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Kapitel 4 Differenzialrechnung 4.1
Seite 65 und 66:
4.1. Tangentenproblem, Ableitung 55
Seite 67 und 68:
4.2. Fakultäten, Binomialkoeffizie
Seite 69 und 70:
Seite 71 und 72:
Seite 73 und 74:
4.3. Ableitung der Potenzfunktion 6
Seite 75 und 76:
4.4. Grundregeln der Differenzialre
Seite 77 und 78:
4.5. Ableitung eines Produkts 67 L
Seite 79 und 80:
4.6. Ableitung eines Quotienten 69
Seite 81 und 82:
4.6. Ableitung eines Quotienten 71
Seite 83 und 84:
4.7. Ableitung der trigonometrische
Seite 85 und 86:
4.7. Ableitung der trigonometrische
Seite 87 und 88:
4.8. Logarithmen 77 Diefolgendensog
Seite 89 und 90:
4.8. Logarithmen 79 Aufgabe 4.8.5.
Seite 91 und 92:
4.10. Differenzial einer Funktion 8
Seite 93 und 94:
4.11. Ableitung von verknüpften Fu
Seite 95 und 96:
Seite 97 und 98:
Seite 99 und 100:
4.12. Ableitung impliziter Funktion
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4.12. Ableitung impliziter Funktion
Seite 103 und 104:
4.13. Differenzieren nach Logarithm
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4.13. Differenzieren nach Logarithm
Seite 107 und 108:
4.14. Höhere Ableitungen 97 In dif
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4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
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4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
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Kapitel 5 Anwendungen der Differenz
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5.1. Physik 105 Aufgabe 5.1.5. Ein
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5.2. Gleichungen numerisch lösen 1
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Seite 121 und 122:
Seite 123 und 124:
5.3. Uneigentliche Grenzwerte - Reg
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Seite 127 und 128:
Seite 129 und 130:
5.4. Untersuchung von Funktionen -
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5.4. Untersuchung von Funktionen -
Seite 133 und 134:
5.5. Beispiele einer Kurvendiskussi
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Seite 137 und 138:
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Seite 141 und 142:
5.6. Krümmung, Krümmungskreis, Ev
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Seite 145 und 146:
Seite 147 und 148:
Kapitel 6 Integralrechnung 6.1 Das
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6.1. Das unbestimmte Integral 139 y
Seite 151 und 152:
6.2. Das bestimmte Integral 141 Wen
Seite 153 und 154:
6.3. Integrationsregeln 143 Beweis.
Seite 155 und 156:
6.5. Allgemeine Flächenberechnunge
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Seite 159 und 160:
Seite 161 und 162:
Kapitel 7 Das Riemannsche Integral
Seite 163 und 164:
7.1. Das bestimmte Integral als Gre
Seite 165 und 166:
Seite 167 und 168:
Seite 169 und 170:
Kapitel 8 Umkehrfunktionen 8.1 Defi
Seite 171 und 172:
8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 173 und 174:
8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 175 und 176:
8.2. Arkusfunktionen (Zyklometrisch
Seite 177 und 178:
Seite 179 und 180:
Seite 181 und 182:
Seite 183 und 184:
Kapitel 9 Hyperbelfunktionen und ih
Seite 185 und 186:
9.1. Hyperbelfunktionen 175 y 1 y =
Seite 187 und 188:
9.1. Hyperbelfunktionen 177 4. ∫
Seite 189 und 190:
9.1. Hyperbelfunktionen 179 Dabei w
Seite 191 und 192:
9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
Seite 193 und 194:
9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
Seite 195 und 196:
Kapitel 10 Volumen, Oberflächen- u
Seite 197 und 198:
10.1. Volumen von Rotationskörpern
Seite 199 und 200:
10.1. Volumen von Rotationskörpern
Seite 201 und 202:
10.2. Bogenlänge einer Kurve 191 L
Seite 203 und 204:
10.3. Mantelfläche von Rotationsk
Seite 205 und 206:
Kapitel 11 Integrationsmethoden Die
Seite 207 und 208:
11.1. Integration durch Substitutio
Seite 209 und 210:
Seite 211 und 212:
Seite 213 und 214:
Seite 215 und 216:
Seite 217 und 218:
Seite 219 und 220:
11.2. Partielle Integration 209 b.
Seite 221 und 222:
11.2. Partielle Integration 211 Nun
Seite 223 und 224:
11.2. Partielle Integration 213 Lö
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11.2. Partielle Integration 215 Auf
Seite 227 und 228:
11.3. Integration rationaler Funkti
Seite 229 und 230:
Seite 231 und 232:
Seite 233 und 234:
Seite 235 und 236:
Seite 237 und 238:
Seite 239 und 240:
Seite 241 und 242:
Kapitel 12 Unendliche Reihen Unendl
Seite 243 und 244:
12.1. Grundbegriffe und Definitione
Seite 245 und 246:
12.3. Konvergenzkriterien 235 b. Di
Seite 247 und 248:
12.3. Konvergenzkriterien 237 Alter
Seite 249 und 250:
12.3. Konvergenzkriterien 239 v 1
Seite 251 und 252:
12.3. Konvergenzkriterien 241 Beisp
Seite 253 und 254:
12.3. Konvergenzkriterien 243 Mit d
Seite 255 und 256:
12.4. Konvergenzverhalten der hyper
Seite 257 und 258:
12.5. Potenzreihen 247 Zu den folge
Seite 259 und 260:
12.5. Potenzreihen 249 1. Mit dem Q
Seite 261 und 262:
12.5. Potenzreihen 251 • Amlinken
Seite 263 und 264:
12.7. Taylorreihe einer Funktion 25
Seite 265 und 266:
12.8. Geometrische Bedeutung der Ta
Seite 267 und 268:
12.9. Allgemeine Form der Taylorrei
Seite 269 und 270:
12.10. Binomische Reihe 259 12.10 B
Seite 271 und 272:
12.11. Methoden zur Reihenentwicklu
Seite 273 und 274:
12.12. Erweiterte Ansatzmethode zur
Seite 275 und 276:
Seite 277 und 278:
Seite 279 und 280:
Kapitel 13 Funktionen mehrerer unab
Seite 281 und 282:
13.2. Geometrische Darstellung 271
Seite 283 und 284:
13.3. Partielle Ableitungen 273 z z
Seite 285 und 286:
13.4. Der Satz von Schwarz 275 13.4
Seite 287 und 288:
13.4. Der Satz von Schwarz 277 Abbi
Seite 289 und 290: 13.5. Das vollständige Differenzia
Seite 293 und 294: 13.7. Museum of Mathematical Art 28
Seite 295 und 296: 13.7. Museum of Mathematical Art 28
Seite 297 und 298: Kapitel 14 Ableitung impliziter Fun
Seite 301 und 302: Kapitel 15 Gradient und Tangentiale
Seite 303 und 304: 15.2. Berechnung der Tangentialeben
Seite 305 und 306: Kapitel 16 Extremstellen bei mehrer
Seite 307 und 308: 16.1. Notwendige und hinreichende B
Seite 309 und 310: 16.2. Methode der kleinsten Quadrat
Seite 311 und 312: 16.2. Methode der kleinsten Quadrat
Seite 313 und 314: Kapitel 17 Approximation mit minima
Seite 315 und 316: 17.2. Approximation von diskreten F
Seite 321 und 322: Kapitel 18 Extremwerte mit Nebenbed
Seite 323 und 324: 18.2. Lagrangemultiplikatoren 313 d
Seite 325 und 326: 18.2. Lagrangemultiplikatoren 315 W
Seite 327 und 328: 18.2. Lagrangemultiplikatoren 317 L
Seite 329 und 330: Kapitel 19 Mehrfache Integrale Zur
Seite 331 und 332: 19.2. Verallgemeinerung des Fläche
Seite 333 und 334: 19.2. Verallgemeinerung des Fläche
Seite 335 und 336: 19.3. Variablensubstitution in eine
Seite 337 und 338: 19.4. Berechnung von Trägheitsmome
Seite 339: 19.4. Berechnung von Trägheitsmome
Seite 343 und 344: 20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
Seite 345 und 346: 20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
Seite 347 und 348: 20.2. Das Linienintegral 337 y x Ab
Seite 349 und 350: 20.2. Das Linienintegral 339 Beispi
Seite 351 und 352: 20.2. Das Linienintegral 341 y P(1,
Seite 353 und 354: 20.3. Linienintegral im Potenzialfe
Seite 361 und 362: Kapitel 21 Differenzialgleichungen
Seite 363 und 364: 21.3. Problemstellungen mit Differe
Seite 365 und 366: 21.5. Differenzialgleichungen von K
Seite 367 und 368: 21.6. Integration von Differenzialg
Seite 373 und 374: 21.7. Orthogonaltrajektorien 363 b.
Seite 375 und 376: 21.8. Integration von linearen Diff
Seite 377 und 378: 21.9. Variation der Konstanten 367
Seite 379 und 380: 21.9. Variation der Konstanten 369
Seite 381 und 382: 21.10. Ansatzmethode und Superposit
Seite 387 und 388: 21.11. Differenzialgleichungen zwei
Seite 389 und 390: 21.11. Differenzialgleichungen zwei
Seite 391 und 392:
21.12. Allgemeine Betrachtungen zu
Seite 393 und 394:
21.13. Homogene lineare Differenzia
Seite 395 und 396:
Seite 397 und 398:
Seite 399 und 400:
21.15. Inhomogene lineare Differenz
Seite 401 und 402:
Seite 403 und 404:
Seite 405 und 406:
21.16. Zusammenstellung der Lösung
Seite 407 und 408:
Kapitel 22 Differenzialgleichungen
Seite 409 und 410:
22.1. Freier Fall mit und ohne Luft
Seite 411 und 412:
22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
Seite 413 und 414:
22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
Seite 415 und 416:
22.3. Die freie Schwingung 405 Wenn
Seite 417 und 418:
22.3. Die freie Schwingung 407 R R
Seite 419 und 420:
22.3. Die freie Schwingung 409 Aufg
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22.4. Die erzwungene Schwingung 411
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Seite 425 und 426:
Seite 427 und 428:
Kapitel 23 Systeme von Differenzial
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23.1. Systeme von linearen Differen
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Anhang A Anwendungen A.1 Elementare
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A.2. Folgen 423 Abbildung A.2.i: Ta
Seite 435 und 436:
A.2. Folgen 425 x Um lim n+1 −x x
Seite 437 und 438:
A.3. Fraktale 427 Abbildung A.3.ii:
Seite 439 und 440:
A.3. Fraktale 429 n = 1 Iterationen
Seite 441 und 442:
A.4. Rollkurven 431 A.3.4 Mengerwü
Seite 443 und 444:
A.5. Bauwerke mathematisch betracht
Seite 445 und 446:
A.5. Bauwerke mathematisch betracht
Seite 447 und 448:
A.6. Aus der Stochastik 437 berechn
Seite 449 und 450:
Anhang B Tafeln B.1 Tafel der Grund
Seite 451 und 452:
Literaturverzeichnis [1] M. Aigner
Seite 453 und 454:
Index N, 1 N 0 , 1 Z, 1 Q, 1 R, 1 C
Seite 455 und 456:
Index 445 Entropie, 349 Entwicklung
Seite 457 und 458:
Index 447 abgeschlossen, 4 beschrä
Seite 459 und 460:
Index 449 Nullstelle, 21 Formel, 21
Seite 461 und 462:
Index 451 Stokes George Gabriel, 18
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