Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

178 Kapitel 9. Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis mit der Gleichung
x 2 +y 2 = 1.
Für den Inhalt des Kreissektors gilt allgemein A = 1 2br, wobei r der Radius des Kreise und
b die Länge des Bogens ist. Dann folgt aus b = rt und r = 1, dass A = t 2
. Die Koordinaten
von P sind x(t) = cos(t) und y(t) = sin(t). Durch quadrieren und Addieren folgt daraus die
Gleichung des Einheitskreises
x(t) 2 +y(t) 2 = cos 2 (t)+sin 2 (t) = 1.
Die Koordinaten der Punkte R und S auf OP bzw. der (rückwärtigen) Verlängerung sind
R(1,tan(t)) und S(cot(t),1).
y
1
y R
y
P
R
S
t
A
x 1
x S
x
Abbildung 9.1.vi: Geometrische Eigenschaft von sin und cos. Es gilt x(t) = cos(t) und y(t) =
sin(t), und die Koordinaten von R und S sind R(1,tan(t)) und S(cot(t),1). Der (graue)
Flächeninhalt des Kreissektors beträgt A = t 2 .
Aufgaben
Aufgabe 9.1.1. Bestimmen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen.
a. f(x) = tanh ( )
√
x
2
d. f(x) = √ cosh(2x)−1
cosh(2x)+1
b. f(t) = cosh 2 (t)+sinh 2 (t)
e. ϕ(u) = arcsin(tanh(u))
c. ψ(α) = ln(cosh(2α))
f. f(x) = e sinh(x)
Aufgabe 9.1.2. Beim freien Fall mit Luftwiderstand gilt für den zurückgelegten Weg
s(t) = a2 ( ( g
)) √ mg
g ln cosh
a t wobei a =
c .