Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

11.1. Integration durch Substitution 199
Beispiel 11.1.3. Betrachte das Integral ∫ sin 2 (x)cos(x)dx. Substituiere z = sin(x),
also dz = cos(x)dx. Hiermit folgt
∫ ∫
sin 2 (x)cos(x)dx = z 2 dz = z3
3 +C = sin3 (x)
+C,
3
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
3. Es ist f(z) = 1 z
ϕ ′ (x)
(Potenzfunktion mit Exponent n = −1). Der Integrand hat die Form
ϕ(x) mit ϕ(x) ≠ 0. Wir substituieren z = ϕ(x) und erhalten dz = ϕ′ (x)dx, demzufolge
folgt ∫ ϕ ′ ∫
(x) dz
ϕ(x) dx = = ln(|z|)+C = ln(|ϕ(x)|)+C,
z
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
Beispiel 11.1.4. Betrachte das Integral ∫ dx
dx
xln(x)
. Substituiere z = ln(x), also dz =
x .
Hiermit folgt ∫ ∫
dx dz
xln(x) = = ln(|z|)+C = ln(|ln(x)|)+C,
z
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
Bestimmte Integrale
Da die Grenzen eines bestimmten Integrals sich nur auf die Integrationsvariable beziehen,
können wir bei der Substitution drei Möglichkeiten unterscheiden, wie wir ein bestimmtes
Integral behandeln.
Beispiel 11.1.5. ImFolgenden betrachten wirdiedreiMöglichkeiten anhanddesbestimmten
Integrals
∫ π
2 cos(α)
1+sin 2 (α) dα.
Wir substituieren jeweils z = sin(α) also dz = cos(α)dα.
1. Grenzen einklammern:
∫ π
2
0
∫
cos(α) (
π
1+sin 2 (α) dα = 2 )
0
(0)
∣
dz ∣∣∣∣
( π 2 )
1+z 2 = arctan(z)
= arctan(1)−arctan(0) = π 4
(0)
= arctan(sin(α))
∣
2. Zuerst Stammfunktion bestimmen, dann Grenzen verwenden:
∫ ∫
cos(α)
1+sin 2 (α) dα = dz
+C = arctan(sin(α))+C,
1+z2 wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist. Dann folgt
∫ π
2
0
∣π
cos(α)
∣∣∣∣ 2
1+sin 2 (α) dα = arctan(sin(α))
0
= arctan(1)−arctan(0) = π 4 .
π
2
0