Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

110 Kapitel 5. Anwendungen der Differenzialrechnung
y
P(x 0 ,g(x 0 ))
•
y = g(x)
P(x 1 ,g(x 1 ))
•
P(x 2 ,g(x 2 ))
•
•
x 4
x 3
x 2
x 1
x 0
x
Abbildung 5.2.iv: Funktionsweise des Tangentenverfahren von Newton
Nun schneiden wir diese Tangente mit der x-Achse und erhalten
x 1 = x 0 − g(x 0)
g ′ (x 0 ) .
Das so erhaltene neue x 1 ist oft bereits eine bessere Näherungslösung für die gesuchte Nullstelle.
Nun iterieren wir dieses Verfahren und berechnen iterativ
x n+1 = x n − g(x n)
g ′ (x n )
wobei n ∈ N 0 .
Beispiel 5.2.3. Die Iteration konvergiert nicht immer. Wir betrachten die ungerade Polynomfunktion
g(x) = x 3 −5x
und wollen mit dem Tangentenverfahren von Newton die Nullstellen finden. Wählen wir den
Startwertx 0 = 1,dannfolgtx 2n = 1undx 2n+1 = −1fürallen ∈ N 0 .DieIteration konvergiert
nicht, obwohl f die Nullstellen 0 und ± √ 5 hat. Hätten wir anstelle den Startwert x 0 =
gewählt, so wäre auch diese Iteration zum Scheitern verurteilt, da die Tangente im Startpunkt
horizontal ist und demzufolge keinen Schnittpunkt mit der x-Achse besitzt. Abhilfe schafft
meistens die Wahl eines neuen Startwertes.
Wir benötigen also ein Konvergenzkriterium. Das Tangentenverfahren von Newton konvergiert
genau dann gegen die Lösung der Gleichung g(x) = 0, wenn die folgenden Konvergenzbedingungen
g ′ (x) ≠ 0 und
∣
g(x)·g ′′ (x)
(g ′ (x)) 2 ∣ ∣∣∣
≤ q < 1 für eine positive Konstante q < 1
für alle Werte x im Intervall gelten, in dem die Iteration durchgeführt wird. Obige Ungleichung
muss also unter anderem auch für alle iterierten Werte x n gelten. Falls das Iterationsverfahren
konvergiert, dann konvergiert es so gut, dass bei jedem Iterationsschritt die Anzahl
√
5
3