Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

328 Kapitel 19. Mehrfache Integrale
Zentrum im Ursprung und rotieren um die y-Achse. Also berechnen wir das Dreifachintegral
∫∫∫
∫∫
I y = ρ 0 (x 2 +z 2 )dxdydz = ρ 0 (x 2 +z 2 )dzdxdy
= ρ 0
∫∫
V
x 2 +y 2 ≤R 2 (
)∣a
x 2 z + z3 ∣∣∣ 2
3
z=− a 2
x 2 +y 2 ≤R 2 ∫ a
2
− a 2
dxdy = ρ 0
∫∫
x 2 +y 2 ≤R 2 (
)
ax 2 + a3
dxdy.
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Bei einer dünnen Blechscheibe kann a ≪ R angenommen werden, also vernachlässigen wir
in guter Näherung den Term mit a 3 gegenüber dem Term mit a und multiplizieren das
Flächenmoment mit a, d.h. wir berechnen
I y = aρ 0
∫∫x 2 +y 2 ≤R 2 x 2 dxdy.
Beachten Sie, dass aρ 0 nun eine konstante Flächendichte darstellt. Nun gehen wir zu Polarkoordinaten
über und erhalten x 2 = r 2 cos 2 (ϕ). Damit ergibt sich
I y = aρ 0
∫ 2π
= aρ 0
R 4
4
∫ R
0 0
∫ 2π
0
∫ 2π
r 2 cos 2 (ϕ)rdrdϕ = aρ 0 cos 2 (ϕ)
cos 2 (ϕ)dϕ = aρ 0
R 4
4 π.
0
∫ R
0
r 3 drdϕ
Um das letzte Integral zu bestimmen, benutzten wir cos 2 (ϕ) = 1 2 (1+cos(2ϕ)).
Aufgaben
Aufgabe 19.4.1. Eingleichseitiges Dreieck derSeitenlängeadrehtsichumeineseinerSeiten.
Es ist das Trägheitsmoment des Dreiecks zu ermitteln. Die Flächendichte sei konstant gleich
µ 0 .
Aufgabe 19.4.2. Gegeben sei ein homogener Quadermit Kantenlängen a, bundckonstanter
Dichte ρ 0 . Berechnen Sie das Trägheitsmoment dieses Quaders bezüglich einer Rotation um
eine der Kanten mit Kantenlänge c.
Aufgabe 19.4.3. Ein homogener Kreiszylinder habe den Radius a und die Höhe 2h. Die
z-Achse ist Zylinderachse und die x-Achse geht durch die Zylindermitte. Berechnen Sie die
Trägheitsmomente in Bezug auf die z-Achse und die x-Achse. Die Dichte des Materials sei
konstant gleich ρ 0 .
Aufgabe 19.4.4. Der Zylinder x 2 +y 2 = a 2 wird begrenzt durch die beiden Ebenen z = 0
und x+y+z = √ 2a. Berechnen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse. Die Dichte
des Materials sei konstant gleich ρ 0 .
Aufgabe 19.4.5. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des Kegelstumpfes der Höhe l bezüglich
der z-Achse. Der Kegelstumpf steht auf der xy-Ebene, der Deckflächenradius ist R 1 und
der Grundkreisradius ist R 2 . Die Dichte sei konstant gleich ρ 0 .
Aufgabe 19.4.6. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des hohlen Kegelstumpfes der Höhe l
bezüglich der z-Achse. Der hohleKegelstumpf steht auf derxy-Ebene, der Deckflächenaussenradius
ist R 1 und der Deckflächeninnenradius ist r 1 , und der Grundkreisaussenradius ist R 2
und der Grundkreisinnenradius ist r 2 . Die Dichte sei konstant gleich ρ 0 .