Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

19.2. Verallgemeinerung des Flächenintegrals – Doppelintegral 321
Integration über ein Fadendifferenzial ergibt
F =
∫ b
x=a
dF =
∫ b
x=a
(∫ mx
y=0
)
dy dx.
Wir unterscheiden hier inneres Integral nach y und äusseres nach x, d.h.,
F =
Aufgabe
∫ b
x=a
(∫ mx
y=0
) ∫ b
dy dx =
x=a
y
∣
mx
y=0
dx =
∫ b
x=a
mxdx = m ∣ ∣∣∣
b
2 x2 = m 2 (b2 −a 2 ).
Aufgabe 19.1.1. Bestimmen Sie die Masszahl der Fläche, die von den beiden Kurven y =
a−x und y = (x−a)2
a
eingeschlossen wird.
Lösung 19.1.1. F = a2
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19.2 Verallgemeinerung des Flächenintegrals – Doppelintegral
Es seien I ⊆ R ein Intervall undD ⊆ R 2 ein Gebiet in der Ebene. Dann bedeuten arclength(I)
die Geasamtlänge des Intervalls und area(D) die Masszahl des Flächeninhalts des Gebiets.
So wie wir vom Integral
∫
∫
arclength(I) = dx zum Integral F = f(x)dx
I
übergegangen sind, um die Masszahl F der Fläche unter der Kurve y = f(x) oberhalb des
Intervalls I zu ermitteln, können wir vom Integral
∫∫
∫∫
area(D) = dydx zum Integral V = f(x,y)dydx
D
übergehen. Wir erhalten das Volumen des Zylinders, der durch das Gebiet D, die Deckfläche
z = f(x,y) und die entsprechenden Seitenflächen begrenzt wird.
Ist insbesondere f(x,y) = 1, so gilt
∫∫
area(D) = dydx
Eigenschaften des Doppelintegrals:
1. Konstanter Faktor k ∈ R
∫∫
D
D
∫∫
k·f(x,y)dydx = k f(x,y)dydx
D
D
I
a
2. Summe
∫∫
D
∫∫
(f(x,y)+g(x,y))dydx =
D
∫∫
f(x,y)dydx+ g(x,y)dydx
D