Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

16.2. Methode der kleinsten Quadrate (lineare Regression) 299
bedeutet,dassdieGerade,d.h.aundb,sogewähltwird,dassdiesogenannteFehlerquadratsumme
S(a,b) =
n∑
∆yi 2 ,
die Summe der quadratischen Abweichungen von den gegebenen Punkten minimal ist. Für
i=1
y
•
P i (x i , y i )
•
•
∆y i
•
•
y = ax + b
•
Abbildung 16.2.i: Regressionsgerade
x
die Fehlerquadratsumme erhalten wir
S(a,b) =
n∑
(y i −ax i −b) 2 .
i=1
Sie ist zu minimalisieren, also berechnen wir die ersten partiellen Ableitungen und setzen sie
gleich null
S a (a,b) = −2
S b (a,b) = −2
n∑
(y i −ax i −b)x i = 0,
i=1
n∑
(y i −ax i −b) = 0.
i=1
Dies ergibt das lineare Gleichungssystem in den Variablen a und b
n∑ n∑
a x 2 i +b x i =
i=1
a
i=1
n∑
x i +bn =
i=1
n∑
x i y i ,
i=1
n∑
y i ,
i=1
(16.2.a)
(16.2.b)