Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

184 Kapitel 9. Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
Lösungen
Lösung 9.2.1.
a. 0.881
c. −0.549
b. 1.609
d. 0.084
Lösung 9.2.2. Vergleichen Sie mit einer Formelsammlung.
Lösung 9.2.3. Merken Sie sich die folgenden Grundintegrale.
a.
d
dx arsinh(x) = 1 √
x 2 +1
b.
d
dx arcosh(x) = 1 √
x 2 −1
Lösung 9.2.4. f ′ (x) =
5 √
25x 2 +1
Lösung 9.2.5. f ′ (x) =
x
|x| √ x 2 −1
Lösung 9.2.6. f ′ (x) = 2
1−x 2
Lösung 9.2.7. f ′ (z) = tan(z)
1
|tan(z)| cos(z)
Lösung 9.2.8. f ′ (x) = artanh(x) (als Integral merken)
Lösung 9.2.9. ψ ′ (α) = arsinh(α) (als Integral merken)
Lösung 9.2.10. Es gilt f = g.
Lösung 9.2.11. Aufpassen mit den Intervallen.
a. 0.549
b. −0.294
c.
d
dx artanh(x) = 1
1−x 2 wenn |x| < 1
d.
d
dx arcoth(x) = 1
1−x 2 wenn |x| > 1
c. Dieses Integral ist nicht definiert, da f im Integrationsintervall [0.5,2] bei x = 1 eine
Polstelle hat. Wir können nur den so genannten Cauchy-Hauptwert CH ∫ bestimmen
d. 2.312
∫ 2
CH
0.5
(∫
dx 1−ε
:= lim
1−x2 ε→0 0.5
Lösung 9.2.12. Der Flächeninhalt beträgt 2arsinh(a).
Lösung 9.2.13. Der Flächeninhalt beträgt 1.674.
∫
dx 2
1−x 2 +
1+ε
)
dx
1−x 2 = 0.
Wir sind nun in der Lage die vollständige Tafel der Grundintegrale anzugeben (vgl. Kapitel
B.1). Sie bilden die Grundlage für sämtliche Integrationsverfahren, die im Weiteren
besprochen werden.