Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

1.4. Zahlenmengen und Punktmengen 3
A
B
A
B
Abbildung 1.3.i: A∪B
Abbildung 1.3.ii: A∩B
A
B
A
Abbildung 1.3.iii: A−B
Abbildung 1.3.iv: Ā
1.4 Zahlenmengen und Punktmengen
Die MengeRder reellen Zahlenlässt sich bekanntlich geometrisch als Zahlengeradedarstellen.
Indem wir den Zahlen 0 und 1 zwei verschiedene Punkte O und E einer Geraden g zuordnen,
wird eine Einslänge l = OE festgelegt undder Geraden eine positive Orientierung von O nach
E gegeben. Einer reellen Zahl x wird dann der Punkt P auf g zugeordnet, der von O den
Abstand x·l hat. Dabei ist die Strecke OP in positiver (bzw. negativer) Richtung abzutragen,
wenn x positiv (bzw. negativ) ist (vgl. Abbildungen 1.4.i und 1.4.ii). Auf diese Weise wird
O E P
• • •
x
−3 −2 −1 0 1 2 3
P O E
−3
•
x−2 −1
•
0
•
1 2 3
Abbildung 1.4.i: Der Fall x = 2 1 3
Abbildung 1.4.ii: Der Fall x = −2 1 3
jeder reellen Zahl x eindeutig ein Punkt der Geraden g zugeordnet. Umgekehrt entspricht
jedem Punkt P der Geraden g genau eine reelle Zahl 2 .
Durch diese Identifikation der reellen Zahlen R mit den Punkten auf einer Geraden ist es
möglich, Zahlenmengen als lineare Punktmengen darzustellen und umgekehrt. Wegen der
Eineindeutigkeit der Zuordnung wird oft zwischen Zahlenmengen und Punktmengen nicht
streng unterschieden.
Die Orientierung der Geraden wird allgemein durch eine in die positive Richtung weisende
Pfeilspitze gekennzeichnet.
Beispiel 1.4.1. In Abbildung 1.4.iii wird die Zahlenmenge A = { 1 n
| n ∈ N} als Punktmenge
dargestellt.
Beispiel 1.4.2. In Abbildung 1.4.iv wird die Zahlenmenge B = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ a} als
Punktmenge dargestellt.
Zahlenmengen wie die des Beispiels 1.4.2 heissen Intervalle. Um sie präzis darzustellen,
werden spezielle Zeichen verwendet. Je nachdem, ob die Randpunkte zum Intervall gehören,
werden folgende Fälle unterschieden:
2 Eine solche umkehrbar eindeutige Zuordnung wird als eineindeutig oder bijektiv bezeichnet.