Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

40 Kapitel 3. Grenzwerte
Definition 3.3.1. Es sei f eine Funktion, die in einer Umgebung von a, eventuell mit Ausnahme
von a, definiert. Hat für jede beliebige Folge (x n ) n∈N , die innerhalb des Definitionsbereichs
X f verläuft und gegen a strebt, die Folge (f(x n )) n∈N den Grenzwert l, so heisst l der
allgemeine Grenzwert der Funktion f an der Stelle x = a. Wir schreiben 2
lim f(x) = l.
x→a
Wie es im obigen Beispiel erwähnt wurde, können wir auch von rechtsseitgen und linksseitigen
Grenzwerten sprechen.
Definition 3.3.2. Es sei f eine Funktion, die in einer rechtsseitigen Umgebung von a, eventuell
mit Ausnahme von a, definiert. Hat für jede beliebige Folge (x n ) n∈N , die innerhalb des
Definitionsbereichs X f verläuft und von oben gegen a strebt, die Folge (f(x n )) n∈N den Grenzwert
l, so heisst l der rechtsseitige Grenzwert der Funktion f an der Stelle x = a. Wir
schreiben
limf(x) = l. oder
x↓a
lim = l.
x→a +f(x)
Die analogen Definition und Schreibweisen gelten für linksseitige Grenzwerte. Der folgende
Satz zeigt den Zusammenhang zwischen links- und rechtsseitigen und allgemeinen Grenzwerten.
Satz 3.3.1. Ist
so gilt auch
lim
x↓a
f(x) = lim
x↑a
f(x) = l,
lim f(x) = l.
x→a
Beispiel 3.3.1. Wir möchten den Grenzwert der Funktion
f(x) = x2 −1
x−1
an der Stelle x = 1 berechnen. Laut dem Satz 3.3.1 müssen wir nicht alle gegen 1 strebende
y
2
•
1
x
Abbildung 3.3.ii: Der Graf y = x2 −1
x−1
Folgen (x n ) n∈N betrachten, sondern nur diejenigen, die entweder von oben oder von unten
gegen 1 streben. Die beiden Fälle können wir sogar gleichzeitig behandeln, indem wir
x n = 1±h n
für alle n ∈ N
2 In der Literatur findet sich auch die Notation f(x) → l für x → a.