Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 99
1.5 Geometrie der Raumzeit
Das folgende Kapitel ’Konventionen und Definitionen’ ist zum Nachschlagen der wichtigsten Begriffe
und Formeln gedacht.
1.5.1 Konventionen und Definitionen (SRT und ART)
Die Spezielle Relativitätstheorie
Die Spezielle Relativitätstheorie wird im folgenden mit SRT und die Allgemeine Relativitätstheorie
mit ART abgekürzt. Die Metrik der SRT ist
ds 2 = ηikdx i dx k = c 2 dt 2 − (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) (1.134)
Hier wird die Summationskonvention benutzt:
ds 2 =
3� 3�
ηikdx
i=0 k=0
i dx k
d. h. über doppelt vorkommende Indizes (einer ko- und einer kontravariant) wird summiert. Die Komponenten
des Tensors ηik sind:
ηik = diag ( + 1, − 1, − 1, − 1) (1.135)
sind. Die Vorzeichen, mit denen Zeit und Raumkomponenten eingehen,
(+ − − −) (1.136)
heißen Signatur der Metrik.
Für die Norm der 4-er Geschwindigkeit folgt, nach Division von ds 2
dx
ηik
i dx
ds
kds = ηiku i u k = u 2 = 1 (1.137)
und entsprechendes für den 4-er Impuls
p i = meu i
oder kurz p = meu
eines massiven Teilchens mit Ruhmasse me
p 2 = m 2 ec 2
• BEISPIEL (KOVARIANTE FORMULIERUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN I)
In 3-er Schreibweise lauten die Maxwellschen Gleichungen:
1. Die inhomogenen Gleichungen.
Quelle des Feldes sind q, die Ladungsdichte im 3-dim. Raum und der Strom, für eine einzelne Ladung durch �j :=
q(d�x/dt) gegeben
div � E = 4πq (1.138)
1 ∂
c
� E
∂t = rot � B − 4π
c �j (1.139)
2. Die homogenen Gleichungen.
div � B = 0 (1.140)
− 1 ∂
c
� B
∂t = rot � E (1.141)