Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

6.3. DER INNERE AUFBAU DER PLANETEN 329
Um zu sehen, wann unsere einfache Näherung konstanter Dichte ihre Gültigkeit verliert, schreiben wir
P ′ = dP
dρ ρ′ = −Gρ Gm
r2 und schätzen ∆ρ ≈ ρ ′ R < ρ ab. Dazu setzen wir
dP
dρ = c2s und v 2 esc = 2GM
R
(6.26)
(6.27)
wobei cs die Schallgeschwindigkeit und vesc die Entweichgeschwindigkeit ist.
Die Bedingung für die Anwendbarkeit unserer einfachen Näherung ρ = const, lautet demnach, wenn
wir
∆ρ
ρ ≈ v2 esc
c 2 s
abschätzen:
c 2 s ≫ v 2 esc
Für reines Eisen ist (der Laborwert, unter Normalbedingungen) cs = 7.1 km s −1 und für die Erde
beträgt vesc = 11.2 km s −1 . Die Bedingung für die Anwendbarkeit unserer einfachen Näherung ist
damit für die Erde deutlich verletzt.
Die Grenzmasse, die unserer einfachen Näherung entspricht, beträgt
Mc = 4 · 10 26
g oder Mc = M⊕/14 (6.28)
bei einem Radius von R = 2 · 10 8 cm, was Rc = R⊕/2.7 entspricht.
Zum Vergleich: der Mond hat M = 0.012M⊕ und R = 0.274R⊕ und liegt damit etwas über dieser
Grenze.
6.3.2 Die Zustandsgleichung
Für genauere Aussagen über das Innere von Planeten benötigen wir die Zustandsgleichung. Als extreme,
idealisierte Beispiele betrachten wir reines Eisen (Erde) und reinen Wasserstoff (Jupiter). Für
Laborbedingungen (etwa die Oberflächenverhältnisse der Planeten) muß diese zunächst experimentell
bestimmt werden. Die entscheidende Größe ist k, die hydrostatische Kompressibilität, welche für
entartete Materie aus der Schallgeschwindigkeit cs bestimmt werden kann:
k = − 1
V
dV
dP
= 1
ρ
dρ
dP =
1
ρc 2 s
(6.29)
Bei entarteter Materie spielt die Temperatur keine Rolle, chemische Reaktionen sind ebenfalls vernachläßigbar.
Sonst muß die Ableitung den thermodynamischen Bedingungen entsprechend genom-
men werden:
c 2 � �
dP
s =
dρ S
falls die Schwingungen adiabatisch sind, S = const. Im hydrostatischen Gleichgewicht gilt der Grenzfall
extrem niedriger Frequenzen.
Für Eisen ist k = 0.6 · 10−12 g−1 cm s2 und ρ = 7.86 g cm−3 . Die zu k inverse Größe heißt Elasti-
zitätsmodul E und es gilt
cs =
�
E
ρ
Ab ρ = 15 g cm −3 gibt es (für niedrige Temperaturen) Rechnungen von Feynman, Metropolis und
Teller, die ab etwa ρ = 10 4 g cm −3 in die Zustandsgleichung des freien Elektronengases übergehen.