Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 109
Wir sehen, daß es drei fundamental verschiedene Bewegungen gibt, welche durch die Gesamtenergie,
bei Einstein durch die Geometrie
Etot = Ekin + Epot
des Systems bestimmt werden:
1. Etot < 0 (gebundenes System, k = +1).
Die Expansion verläuft bis zu einem maximalen Radius, dem Schwarzschild Radius Rs der Masse
M,
a = amax
ct =
(1 − cos η)
2
(1.219)
amax
(η − sin η)
2
(1.220)
amax = 2GM
c2 = Rs (1.221)
und rekollabiert dann (wieder in eine Singularität).
2. Etot > 0 (ungebundenes System, k = −1).
Im Falle positiver Gesamtenergie expandiert das System für alle Zeiten mit von Null verschiedener
Grenzgeschwindigkeit: ˙a(∞) = c.
Dabei ist
a = a1(cosh η − 1) (1.222)
ct = a1(sinh η − η) (1.223)
a1 = GM 1
=
c2 2 Rs
(1.224)
3. Etot = 0 (indifferentes System, k = 0).
Im Grenzfall verschwindender Gesamtenergie ist die Lösung besonders einfach. Die Bewegungsgleichung
(Energiesatz) lautet:
˙a 2 = 2GM
a
Mit der Lösung
a =
= c2 Rs
a
�
3√
�2/3
2GM t =
2
8πGρ
= a
3
2 = H 2 a 2
�
3�
�2/3
Rsct
2
Das System expandiert für alle Zeiten, allerdings mit Grenzgeschwindigkeit Null: ˙a(∞) = 0.
(1.225)
(1.226)
In unserer Näherung ist ein kosmologisches Modell durch zwei Parameter eindeutig bestimmt, welche
zu beliebigem Zeitpunkt gemessen werden können. Diese sind z. B.
1. die Hubble Konstante H(to) = Ho und
2. die Dichte ρo = ρ(to).