Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 135
In die Newtonsche Bewegungsgleichung geht die reduzierte Masse m als inertiale Masse ein, die im
Feld der Gesamtmasse M beschleunigt wird. Sie lautet, im Bezugssystem, wo für die Schwerpunkt-
Geschwingigkeit V = 0 gilt:
m d�v
dt
= −GmM �r
r 3
Die inertiale Masse m fällt heraus.
• BEISPIEL (ELEMENTARE BERECHNUNG VON ENERGIE UND DREHIMPULS)
1. Skalarmultiplikation von (2.17) mit �v liefert mit �v = d�r
dt
m�v d�v
dt
den Energiesatz,
oder
= −GmM �r
r 3
d�r
dt
˙E = d
� �
1 GmM
m�v − = 0
dt 2 r
(2.17)
E = T + U = const (2.18)
2. Vektormultiplikation von (2.17) mit �r liefert d � J/dt = 0, d. h. den Drehimpulserhaltungssatz, also
�J = �r × �p = const (2.19)
Die Bewegung verläuft in einer Ebene senkrecht zu � J. Schwieriger ist es, die Erhaltung des Laplace - Lenzschen Vektors
�LL
zu zeigen.
�LL = m�v × (�r × �v) + U�r ; U = α
r
Wir nutzen die Symmetrie aus und betrachten die Lösung in sphärischen Koordinaten (r, Θ, φ) in der
Äquatorebene (Θ = π/2). Die Lagrange-Funktion L = T − V
L = m
2
(2.20)
�
˙r 2 + r 2 ˙ φ 2 �
− U(r) (2.21)
enthält den Winkel φ und die Zeit t nicht explizit, was zwei der drei Konstanten der Bewegung liefert.
Die dritte muß man direkt ausrechnen. Wir haben dann die folgenden Konstanten der Bewegung:
1. Drehimpuls J :
2. Energie E :
J = mr 2 ˙ φ (2.22)
E = m
2
�
˙r 2 +
3. Laplace - Lenzscher Vektor � LL:
2 J
m2r2 �
+ U(r) (2.23)
�LL = m�v × (�r × �v) + U�r ; U = α
r
(2.24)