Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 305
2. Das relativistische Gas
Die Gesamtenergie verschwindet für s = 4/3 bzw. n = 3. Es ist ferner k1 = 1.755 und k2 = 0.639. Das hydrostatische
Gleichgewicht ist indifferent. Wie wir sehen werden, ist es in der Newtonschen Theorie sogar stabil.
Die Masse-Radius Beziehung erhält man, wenn man die zentrale Dichte eliminiert
� R
ξ1
� n−3
oder endgültig
= 4π
� �n−1
M
ˆm
�
G
�n (n + 1)K
(5.185)
G n M n−1 R 3−n = const (5.186)
Mit dieser Relation kann man die Frage beantworten, was ein Stern (in der Newtonschen Theorie)
macht, falls sich die Gravitationskonstante G zeitlich ändert. Es folgt für die folgenden Objekte, die
durch eine Polytrope beschrieben werden können.
1. Planeten
Für nichtrelativistisch entartete Materie (Erde) ist n = 3/2 und ein Planet dehnt sich aus, falls G
abnimmt. (Das wurde von P. Jordan für die Erde und das Erde-Mond System diskutiert).
2. Weiße Zwerge
Polytrope zum Index n = 3 sind physikalisch besonders interessant: sie sind der Grenzfall relativistischer
Druckmaterie (der Elektronen) bei Weißen Zwergen. Die Gesamtenergie E verschwindet
im Grenzfall hoher Dichte.
• ZUSATZ (ALTERNATIVE HERLEITUNG DER CHANDRASEKHAR MASSE)
Die Variation der Gesamtenergie nach der zentralen Dichte
E = Ui + Ug = k1Kρ 1/n
c M − k2Gρ 1/3
c M 5/3
liefert für das Minimum die Bedingung
∂E
= 0
∂ρc
Die beiden Konstanten haben im Fall n = 3 den Wert k1 = 1.755 und k2 = 0.639 und in diesem Fall sind beide Terme
proportional zu ρ 1/3
c , was als Bedingung
k1KM − k2GM 5/3 = 0 ; M =
� �3/2 k1K
k2G
liefert. Damit haben wir eine weitere Herleitung der Grenzmasse für Weiße Zwerge (Chandrasekhar Masse)
gewonnen.
MCh = 1.456 (2Z/A) 2 M⊙
5.4.6 Das Eddingtonsche Standardmodell
Parameterdarstellung der Masse–Leuchtkraft Beziehung
(5.187)
Das Standardmodell erhält man, s. Glchgn. (5.102) und (5.103) für n = 3. Es gilt dann für den Druck
und für die Temperatur
P ∝ ρ 4
3 und T ∝ ρ 1
3 (5.188)