Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

380 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Daraus wird die Maxwell - Boltzmann Verteilung im (x, v) Raum
�
m
�3/2 −m v2
fM (v) = n
e 2kT (8.7)
2πkT
wobei m die Masse der Teilchen und n = N/V die Anzahldichte ist.
Beim Übergang zum Impulsraum p = mv wird daraus die Ein-Teilchen Verteilungsfunktion
�
1
fM (p) =
2πmkT
� 3/2
� � 2 p
exp −
2mkT
und, wenn wir bezüglich der Normierung den auf h 3 normierten (Ein-Teilchen) Phasenraum benutzen,
� 2 h
fMB(p) =
2πmkT
�3/2
� � 2 p
exp −
2mkT
mit der Normierung bei Integration über das Volumen V
�
N = n
fMB(p) d3 pd 3 x
h 3
Bei der Kernfusion werden im Innern der Sonne Photonen der mittleren Energie 6.7 MeV erzeugt. Die
Photonen, die die Sonne verlassen, haben jedoch nur etwa ¯hω = 0.5 eV. Wie kommt das zustande?
Grundlage für die Transportgleichung ist beim Gas neben dem Energiesatz die Teilchenzahlerhaltung.
Bei Photonen gilt nur der Energiesatz. Der Prozess der Vervielfachung selbst wird gewöhnlich nicht
mikroskopisch beschrieben, man nimmt vielmehr an, daß das Gas eine Thermalisierung bewirkt, an
jeder Stelle gilt dann LTE und die Anzahl der Photonen kann aus der Planck Verteilung bestimmt werden.
Im Zentrum (am Ort der Erzeugung) werden die Photonen um das 6700-fache, auf dem Weg vom
Zentrum der Sonne zur Photosphäre um das 2000-fache vervielfacht, ihre Energie sinkt (die Entropie
wächst, die Energie ist erhalten) entsprechend. Zur Bestimmung der Entropie benutzen wir die
Gibbs-Duhem Relation. Diese lautet (für ein homogenes Medium) allgemein
S = 1
(E + P V − µN) (8.10)
T
Für Photonen ist µ = 0 und der Druck (eines relativistischen Gases) erfüllt pV = E/3. Für die Entropie
(einer einzelnen relativistischen Spezies) gilt dann:
S = 4E
3T
(8.8)
(8.9)
(8.11)
Aus der Thermodynamik übernehmen wir im weiteren folgende Relationen für Baryonen (die Gasteilchen)
und Photonen.
Baryonen
Die Zustandsgleichung des idealen einatomigen Gases lautet:
P = n kT = 2
3 uth
Die Boltzmann Konstante, k B, hat den Wert
k B = 1.38054 · 10 −16
(8.12)
erg K −1 (8.13)