Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.5. STABILITÄT 321
Die 1. Variation der Energie
Die Gesamtenergie ist gegeben durch Glchg. (5.276). Für shpärische Störungen ξ = ξ(m) hat die 1.
Variation zwei Anteile:
δEg =
M�
0
Gm
ξdm
r2 für die Gravitation und
δEi =
M�
0
δˆɛdm mit δˆɛ = dˆɛ
dρ δρ
für die innere Energie. Wir benutzen (5.280) und (5.275) und erhalten
δEi =
M�
0
p
∆ρdm = −4π
ρ2 Die Gesamtvariation lautet
δEtot =
M�
0
M�
0
p(r 2 ξ) ′ dm = 4π
V1ξdm mit V1 = Gm dP
+ 4πr2
r2 dm
M�
0
p ′ r 2 ξdm
Die Bedingung V1 = 0 ist das hydrostatische Gleichgewicht, geschrieben in der Variablen m. Demnach
bedingen δEtot = 0 für beliebiges ξ und V1 = 0 sich gegenseitig.
Noch einfacher ist die Herleitung, wenn wir
δEi =
M�
0
d(δEi) = −
schreiben und partiell umintegrieren.
Die 2. Variation der Energie
Die 2. Variation wird
δ 2 Etot =
M�
0
M�
0
� −2Gmξ 2
r 3
P d(δV ) = −
M�
0
P dδV
dm =
dm
M�
0
P ′ δV dm
+ 8πr dP
dm ξ2 + 4πr 2 �
d ∆P
ξ dm (5.281)
dm
die beiden ersten Terme sind gleich (hydrostatisches Gleichgewicht) und der letzte wird umintegriert
zu:
δ 2 Etot =
M�
0
�
16πr dP
dm ξ2 − ∆P d
dm (4πr2 �
ξ) dm
Wir ersetzen ∆P nach Glchg. (5.251) und benutzen Glchg. (5.280) und erhalten mit den Bezeichnungen
von Glchg. (5.48)
δ 2 Etot = 4π
�R
0
(K ζ ′ 2 − Q ζ 2 )dr