Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

172 KAPITEL 2. GRAVITATION
heißt Riemann- oder Einstein-Tensor, Rab heißt Ricci-Tensor.
Er erfüllt die 4 Bianchi Identitäten
G k i ;k = 1
√ −g ( √ −gG k i ),k − 1
2 gkl,iG kl = 0 (2.205)
welche vermöge der Einsteinschen Feldgleichungen die Bewegungsgleichung
T ik ;k = 0 (2.206)
der Materie liefern. Das Semikolon bedeutet kovariante Ableitung.
T ik
;k = T ik
,k + Γ k mkT im
• FORMELN (DATEN DES KOSMOS)
Der kritischen Massendichte
ρc = 3H2
8πG = 5 · 10−30 (2h) 2
gcm −3
entspricht die kritische Baryonen Teilchendichte
nc = 3H2
= 3 · 10
8πGmp
−6 (2h) 2
cm −3
(2.207)
Die Baryonen Teilchendichte ist nb = Ωnc. Für die Entropie pro Baryon, ˜s = nγ/nb, der Hintergrundstrahlung von
Tbb = 2.735 Kelvin gilt dann:
˜s = nγ
nb
= 1.4 · 10 8 [Ω −1 (2h) −2 ] (2.208)
Im folgenden wollen wir diese mit ihrem Kehrwert parametrisieren
η = nb
nγ
= 8 · 10 −9 [Ω(2h) 2 ] (2.209)
Der Parameter η ist also das Verhältnis von Baryonen- zu Photonenzahl im Einheitsvolumen. Die Elementsynthese im
frühen Universum führt auf die Bedingung 3 < 10 10 η < 4 für die Baryonische Komponente, was Ωb = 0.05 bei h = 0.5
impliziert.
In konkreten Anwendungen werden wir Ω ≈ 0.05 und h = 0.5 annehmen, der Rest ist Dunkelmaterie und Ω < 0.3.
Die Zustandsgleichung lautet:
ρ = ρo
� �3 �
Ro
1 + θm(o)
R
Ro
�
R
und (nur masselose Felder liefern einen Druck, Index γ)
pγ = 1
3 ργc 2 = ɛoθm(o)
� �4 Ro
R
2.4.4 Von Newton zu Einstein
(2.210)
(2.211)
Die Allgemeine Relativitätstheorie Einsteins (ART) führt formal auf die gleiche Dynamik des Kosmos
wie die Newtonschen Theorie. In beiden wird sie durch den Materieinhalt (und dessen Zustandsgleichung)
bestimmt. Daß die Newtonschen Theorie überhaupt zu einer qualitativ korrekten Beschreibung
führt, liegt an folgender wichtigen Eigenschaft der ART (und gilt natürlich auch in der Newtonsche
Gravitationstheorie): bei Kugelsymmetrie liefert die außerhalb der Kugel liegende Materie keinen Beitrag
zum Feld innerhalb (in der ART ist das der Satz von Birkhoff). Bekanntlich ist aber die Newtonsche
Gravitationstheorie eine sehr gute Näherung für schwache Felder und kleine Abstände, hier
müßen beide demnach stetig ineinander übergehen.