Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

52 KAPITEL 1. GEOMETRIE
als Leuchtdistanz interpretiert werden. Die Formel lautet dann
Le = 4πD 2 l fo
Im folgenden werden wir zeigen, wie rA aus der Rotverschiebung z und der Hubble Konstanten, H, in den einfachen Fällen
bestimmt werden kann, wo das kosmologische Modell mit dem Dezelerationsparameter q bestimmt ist.
Die Größe � fodto wird als fluence bezeichnet und spielt bei den Gamma Bursts eine wichtige Rolle. Wir bezeichnen sie
mit
�
E = fodto
Mit der wichtigen Rotverschiebungs Relation für die Eigenzeit dt und Frequenz ν
dte(1 + z) = dto bzw. νe = (1 + z)νo
kann aus ihr auf die Gesamtenergie Ee geschlossen werden
Ee = 4πD 2 �
1
l fodto
1 + z
Für die besonders einfachen Fälle, q = 0, (Milne-Schücking)
rA = c
�
1
1 −
2H (1 + z) 2
�
und q = 1/2, (EdS)
rA = 2c
H
�
1 −
�
1
√
1 + z
kann rA geschlossen analytisch angegeben werden. In beiden Fällen gilt für kleine z die Näherung
(1.78)
(1.79)
(1.80)
(1.81)
rA = c
z (1.82)
H
die wir meistens benutzen werden. Die allgemeine Form ist auch noch für Λ = 0 und p = 0 möglich, (Mattig, 1958)
rA = H −1 q −2 (1 + z) −2 {zq + (1 − q)[(1 + 2qz) 1/2 − 1]} (1.83)
Für den Entfernungsmodul m(z) − M ergibt sich allgemein
m − M = 5 log10Dl(z) − 5 (1.84)
und daraus in zweiter Näherung
z
m − M = 42.38 + 5 log10
h + 1.086(1 − q0)z + . . . (1.85)
wobei 1.086 = 2.5
ln10 ist.
Beispiel
Moderne Werte für MB sind: MB − 5log(2h) = −19.78, −17.18 und −16.19 für Supernovae vom Typ Ia, Ib und Ic.
Mit m = 25 und z = 1 ergibt sich, falls wir MB = −19.78 und 2h = 1 akzeptieren: 44.78 = 43.89 + 1.086(1 − qo) und
damit etwa qo = 0.1.
• FORMELN (ENERGIE, LEUCHTKRAFT UND FLUSS II)
Die Energiedichte der Strahlung, u, ändert sich wie folgt: die Anzahl der Photonen ist erhalten na 3 = const, jedes Photon
wird rotverschoben, insgesamt also
uo = ue
� �4 ae
ao
=
ue
(1 + z) 4
Gleiches gilt damit für die Strahlungsintensität der Quelle
Io = Fo
Ω
= c
4π uo
(1.86)
(1.87)