Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 143
Als Beispiele erwähnen wir hier die klassische Formel
bmin = Ze2
mv2 ; bmax = n −1/3
und das Ergebnis von Bethe (1930)
B = 2mv2
¯hω
= v2
v 2 B
(2.77)
(2.78)
Dabei ist ¯hω die Bindungsenergie und vB die Geschwindigkeit des Elektrons im Bohrschen Orbit. In
jedem Fall aber hängt das Ergebnis nur logaritmisch davon ab, welche konkrete Situation vorliegt.
Beispiele
Yukawa Potential
Für ein ’Yukawa Potential’ (abgeschirmtes Coulombpotential)
U(r) = e
r e−κr
z. B. ist die natürliche Grenze für ρmax offensichtlich 1/κ und ρmin wird durch ∆Emax gegeben.
Quantenmechanisch kann das Problem in Bornscher Näherung analytisch gelöst werden. Für den
differentiellen Wirkungsquerschnitt erhält man:
dσ =
� e 2
Ea
� 2
do
(1 + 4(E/Ea) sin 2 (χ/2)) 2 mit Ea = 1
2m (κ¯h)2
Integration über die Winkel liefert ein endliches Ergebnis für den Gesamt - Wirkungsquerschnitt:
� �
2 2
e 1
σ =
1 + 4(E/Ea)
Ea
Die neue Größe Ea hat die Bedeutung einer Abschneide Energie. Im Limes Ea → 0 erhält man
zufälliger Weise das exakte Ergebnis für die Coulombstreuung (zweier Ladungen Z1 und Z2):
�
Z1Z2e
dσ =
2
�2 do
4E sin4 (χ/2)
Die harte Kugel
Klassisch kann man die Streuung harter Kugeln rein geometrisch behandeln. Seien r1 und r2 die
Radien, dann ist R = r1 + r2 die kleinste Entfernung der Zentren, auf die sich die beiden Kugeln
nähern können. Äquivalent dazu ist die Streuung einer Punktmasse an einer Kugel mit Radius
R = r1 + r2.
Der gesamte Streuquerschnitt beträgt also
σ = π(r1 + r2) 2
Für identische Teilchen also
σ = πd 2
wobei d der Durchmesser ist. Die Streuung ist isotrop, d. h. es gilt Einfallswinkel = Ausfallswinkel
und für den Stossparameter gilt ρ = R sin θ; also
ρdρ = R 2 sin θ cos θ dθ
Für den Ablenkwinkel gilt χ = π − 2θ, sodaß für den differentiellen Streuquerschnitt folgt:
dσ
do = (r1 + r2) 2
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