Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

298 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Die korrekte Beschreibung der physikalischen Bedingungen an der Oberfläche, d. h. die Herleitung
der Randbedingung für T , ist Aufgabe der Strahlungstransport Theorie. Bisher haben wir P (R) = 0
gefordert, was nur bei entarteten Sterne mit fester Oberfläche exakt ist. Eine einfache Verbesserung
erhält man, indem man, s. Glchg (5.112), für T = T (R) fordert,
L = 4πR 2 σT 4
(5.129)
Dadurch wird eine effektive Strahlungstemperatur definiert, die nichts mit der bisher betrachteten Temperatur
(des Gases bzw. der Photonen) zu tun hat.
5.4.4 Polytrope Sterne
Falls der Druck nur eine Funktion der Dichte ist, P = P (ρ), kann man P aus der Differentialgleichung
des hydrostatischen Gleichgewichts eliminieren:
dP
dr =
� �
dP dρ
dρ dr
χ dρ
=
ρ dr
(5.130)
Die hier auftretende Größe χ heißt Kompressibilität.
Man muß im allgemeinen zwischen statischer und dynamischer Kompressibilität unterscheiden. Im
letzteren Fall ist cs bei adiabatischen Änderungen gegeben durch
c 2 s =
� �
dP
dρ S
(5.131)
Bei entarteten Sternen ist S maximal und cs ist in jedem Fall die Schallgeschwindigkeit. Sonst muß
spezifiziert werden, wie die Änderung von P zustande kommt (adiabatisch, S = const oder, bei sehr
guter Wärmeleitfähigkeit, isotherm). Man erhält mit der hydrostatischen Kompressibilität χ(ρ)
ρ ′ = − Gρ2 m(r)
χr 2
Die einfachsten Zustandsgleichungen sind
1. inkompressible Materie, ρ = const. (χ = ∞),
2. lichtartige Materie, P = Kρc 2 mit K = const = 1/3,
3. druckfreie Materie (’Staub’), P = 0.
(5.132)
Diese sind von grossem Interesse und können nicht als Polytrope behandelt werden. Wir geben einige
Extremfälle und ihre Dynamik.
• BEISPIEL (DIE HOMOGENE GASKUGEL)
Die homogene, ruhende Gaskugel wird als Ausgangskonfiguration bei der Herleitung des Jeans–Kriteriums benutzt. Für
die Masse gilt im Innern, für r < R,
M(r) = 4π
3 ρr3
(5.133)
Die Gesamtmasse ist M(R). Die ungestörte Innen-Lösung lautet im hydrodynamischen Gleichgewicht für eine Kugel der
Massendichte ρ und mit Radius R, bei Berücksichtigung der Gravitation mit Potential V
V = 2π
3 Gρ(r2 − 3R 2 ) (5.134)
P = 2π
3 Gρ2 (R 2 − r 2 ) (5.135)