Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

316 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
1. die Eulersche Variation
δm(r) = −4πρor 2 oξ = 4π
bzw. differentiell
� r
δρ = −(1/r 2 )(r 2 ρξ) ′ = −ρ ′ ξ − (ρ/r 2 )(r 2 ξ) ′
2. und daraus die Lagrangesche Variation
∆ρ = −(ρ/r 2 )(r 2 ξ) ′
Diese kann auch direkt (zur Probe) aus
dr
dm
= 1
4πρr 2
gewonnen werden (s. Glchg. (5.280)).
In f(t, r) separieren wir die Zeit ab,
f(t, r) = ˜ f(r) e −iωt
o
δρ(x)x 2 dx (5.252)
(5.253)
(5.254)
(5.255)
Aus der Eulerschen Bewegungsgleichung wird im Falle von Kugelsymmetrie, wenn wir Glchg. (5.89)
durch ρ dividieren und Glchg. (5.76) für V ′ benutzen
d2 ′ r G m(r)
= −P −
dt2 ρ r2 und linearisieren
− ω 2 ξ = −δ
� �
′ P
ρ
G m(r)
− δ
r2 ′ δP
= −
ρ
′ δρP G δm(r)
+ −
ρ2 r2 Wir benutzen Glchg. (5.250) und Glchg. (5.251) zur Bestimmung von δP
δP = − ξP ′ − γP r −2 (r 2 ξ) ′
Daraus folgt für die 1. Ableitung von δP
δP ′ = −ξP ′′ − ξ ′ P ′ − [(γP/r 2 )(r 2 ξ) ′ ] ′
Die hier auftretende 2. Ableitung von P wird mithilfe von Glchg. (5.123) eliminiert
P ′′ ′ P
= 2
r − 4πGρ2 + P ′ ρ ′
ρ
und damit erhalten wir nach einfacher Zwischenrechnung die Schwingungsgleichung (Eddington, 1918)
für die Sternpulsationen
− ω 2 �
γP
ρξ =
r2 (r2ξ) ′
�′ ′ 4P
− ξ (5.256)
r
Mit den Randbedingungen
ξ(r = 0) = 0 und ∆P (r = R) = −γP r −2 (r 2 ξ) ′ = 0 (5.257)
hat man demnach eine Eigenwert - Aufgabe zu lösen. Beide Randpunkte sind singulär, was ihre numerische
Lösung erschwert. Die zweite Randbedingung bedeutet, daß (r 2 ξ) ′ regulär sein muß.