Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 303
Für nichtrelativistisch entartete Materie (Erde) ist n = 3/2 (d.h s = 5/3) und für relativistische Materie
(Weißer Zwerg) bzw. β = const (Eddingtons Standardmodell) ist n = 3 (d.h s = 4/3). Diese Fälle
müssen numerisch gelöst werden.
• ZUSATZ (NUMERISCHE BEHANDLUNG)
Dazu schreibt man die Differentialgleichung 2–ter Ordnung um in 2 gekoppelte Dgln. erster Ordnung:
und
dΘ
dξ
= − m
ξ 2
dm
dξ = ξ2 Θ n
(5.173)
(5.174)
Die dimensionslosen Variablen sind Radialkoordinate, ξ, Masse, m = m(ξ), und Lane-Emden Funktion Θ = Θn(ξ). Für
spätere Anwendungen ist es nützlich, statt der Radialkoordinate ξ als unabhängiger Variablen die dimensionslose Masse m
zu benutzen. Man erhält:
und
dΘ
dm = −mξ−4 Θ −n
dξ
dm = ξ−2 Θ −n
mit 0 ≤ m ≤ 1 und den Randbedingungen ξ(0) = 0 und Θ(1) = 0.
(5.175)
(5.176)
Als Differentialgleichung 2–ter Ordnung mit Θn(0) = 1 und Θ ′ n(0) = 0 kann die Lane-Emden Differentialgleichung
leicht numerisch gelöst werden.
Die nebensthende Tabelle, die auf numerischen Rechnungen beruht, vergleicht unterschiedliche Modelle
für die Sonne für Polytrope zum Index n mit dem heute
akzeptierten Standard Sonnenmodell.
Dabei ist (in der Tabelle) Tc,6 die Zentraltemperatur des
Sterns in 106 Kelvin, Pc,17 ist der Zentraldruck in Einheiten
von 1017 dyn cm−2 , I53 ist das Trägheitsmoment in 1053 g cm2 Polytrope Modelle für die Sonne
n
0
ρc/¯ρ
1
Tc,6
11.5
Pc,17
0.01
I53
35
Π/d
0.116
2 11.4 0.058
. In der letzten Spalte ist, im Vorgriff und um darauf 3 54.1 12 1.2 7 0.038
verweisen zu können, die Pulsperiode Π in Tagen angegeben.
Sonne 110 14 2.2 5.7 0.033
Tab. 5.3: Polytrope
Die Pulsperiode der Sonne beträgt demnach etwa eine Stun-
de. Die Originalrechnungen von Chandrasekhar (1939) sind in seinem auch heute noch lesenswerten
Buch ’Stellar Structure’ zu finden.
5.4.5 Eigenschaften polytroper Sterne
Wie aus den Modellen für die Sonne aus obiger Tabelle hervorgeht, ist eine Polytrope mit n = 3 die
beste Näherung für einen Stern wie die Sonne, aber der zentrale Dichtekontrast kann nicht erreicht
werden. Die eigentliche Anwendung polytroper Modelle liegt in einer analytischen Beschreibung der
entarteten Materie, die nichtrelativistisch Materie hat als Zustandsgleichung
P = Kρ 5/3
und im Grenzfall hoher Dichten die extrem relativistische Zustandsgleichung
P = Kρ 4/3
Die folgende Tabelle gibt einige gerechnete Werte für Polytropen zum Index n
(5.177)