Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

178 KAPITEL 2. GRAVITATION
Die ART
Im Folgenden wollen wir den Übergang zur ART vollziehen, indem wir (ad hoc)
K1 = −kMc 2
bzw K2 = −kc 2
setzen. Die einzige neue Größe ist die Lichtgeschwindigkeit c, sie tritt aber nur auf als Umrechnungsgröße
von Zeit t in Länge x:
˙a → 1
˙a = a′
c
Die klassischen Gleichungen der ART liefern keine fundamentale Länge, deshalb ist die Newtonsche
Näherung (bei geeigneter Interpretation) exakt. In der Einsteinschen Allgemeine Relativitätstheorie
kann k nur die Werte +1 für ein räumlich geschlossenes Universum, k = 0 für das flache Universum
und k = −1 für ein Universum mit negativer Raumkrümmung annehmen.
Die Gleichungen der ART lauten vollständig
�
′ a
3
a
2 a′′
a +
�
′ a
a
� 2
� 2
� �2 1
+ 3k
a
� �2 1
+ k
a
dabei ist ɛ = ρc 2 die Massen-Energiedichte, p der Druck und
ˆκ = 8πG
c 4
= ˆκɛ (2.237)
= −ˆκp (2.238)
(2.239)
die relativistische Kopplungskonstante.
Als Konsequenz folgt der erste Hauptsatz der Thermodynamik für adiabatische Änderung des Zustands
der Materie und es gilt:
(ɛa 3 ) ′ = −p(a 3 ) ′
Für baryonische Materie ist heute (mit Temperatur T = 3 K) der Druck 2p = 3nkT ≈ 0 vernachläßigbar,
Photonen haben die Zustandsgleichung ɛ = 3p. Damit verhalten sich die beiden Komponenten
wesentlich verschieden bei der Expansion: baryonische Materie befolgt ɛa 3 = const; Photonen
dagegen gehorchen ɛa 4 = const., da der Druck stets vergleichbar mit der Energiedichte ist.
2.4.6 Die Massendichte des Universums
In der ART wirkt alles, was Energie oder Masse hat, gravitierend. Alles gehorcht der Einstein Formel,
ɛ = ρc 2 , auch das Vakuum. Es ist deshalb unumgänglich, alle Komponenten des Kosmos zu bestimmen:
der Energienullpunkt ist nicht willkürlich, wie in der Spezielle Relativitätstheorie, er ist absolut. Wir
betrachten im folgenden der Reihe nach die Beiträge: Baryonen, Photonen, Dunkelmaterie und das
Vakuum.
Die Baryonendichte
Die Baryonendichte hat die Anteile Ruhmassenenergie und kinetische Energie: ɛ = mc2n + 3kT
n und
2
die Näherung p ≈ 0 ist so lange ausreichend, wie mc2 ≫ kT gilt. Es gibt drei Möglichkeiten, die
mittlere Dichte des Universums zu bestimmen: